線型代数・行列論のまとめ
https://study-guide.hatenablog...

▶#余因子展開
#行列式 を
「1つ小さなサイズの行列式」の和で表すこと

▶#クラメルの公式
#逆行列 の成分を
「行列式の比」により
明示的に書き下す公式。
計算量が大きいので，
実用的には #ガウスの消去法(#掃き出し法)を使う

線型代数の目的の中で
とくに「#逆行列 を求める」に注目した場合
アプローチは大きく分けて2つ

逆行列を求める
https://study-guide.hatenablog...

・そのための手順(アルゴリズム):
#ガウスの消去法，#掃き出し法

・成分表示の方法:
#クラメルの公式

大学1年・前期の #線形代数 の目的
https://study-guide.hatenablog...

・「#逆行列」を求めること
(＝連立一次方程式系を解くこと)

・「#固有値問題」を解くこと
(応用が一番多い)

・「#対角化」により関係をシンプルに整理すること(#ジョルダン標準形 を含む)

大学の線形代数は，#行列論 の入門から始め
・ #逆行列
・ #固有値
・ #対角化･2次形式
などを扱い，
線形空間の議論に進んでゆく.
https://language-and-engineeri...

#線形空間 の議論では「抽象線型代数」が扱われ
・ #正規直交基底
・内積･ノルム
などを学ぶ.

#たった10ツイートでわかる線形代数

具体的な計算練習の補遺 (1/4)

▶#掃き出し法 で連立一次方程式を解く
・http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/m...
・https://senkei.nomaki.jp/gauss...
・https://geisya.or.jp/~mwm48961...
・https://ja.wikipedia.org/wiki/...

▶掃き出し法で #逆行列 を求める
・https://linear-algebra.com/ent...
.

#たった10ツイートでわかる線形代数
6/10

Q.
1) #余因子行列 の定義
2) 「#逆行列 を求める公式」

A.
1)
正方行列Aの
全ての #余因子(cofactor) C_{i,j} を並べた行列Cが
Aの余因子行列(matrix of cofactors)

2)
余因子行列を転置し
#行列式 で割ると
逆行列になる.
A^{-1}＝C^T / |A|

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
14 / 86

【線形代数#14】演習② ～ #階数 ・ #逆行列 ・ #連立方程式 ～
https://www.youtube.com/watch?...
16:16

#ランク #行列
#数学 #大学数学

#たった10ツイートでわかる線形代数
3/10

Q.
#行列式 |A|=detA
1) 意味
2) |A|≠0時のAx=b
3) |A|=0時のAx=0

A.
1)
#逆行列 や非自明解の存在判別式.
n本のベクトルが張る立体の体積

2)
|A|≠0
⇔逆行列A^{-1}が存在.Aは #正則
⇔Ax=bは唯一解を持つ

3)
|A|=0
⇔Ax=0は非自明解x≠0を持つ

#たった10ツイートでわかる線形代数
2/10

Q.
行列の #階数
1) 定義
2) Ax＝bが唯一解を持ち，Aの #逆行列 が存在する必要十分条件
3) Ax＝bが解を持つ必要十分条件

A.
1) #基本変形 して全行が0でない行の階段の段数.
#1次独立 なベクトルの本数
2) rank(A)＝n
3) rank({A|b})＝rank(A)

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
12 / 86

【線形代数#12】#逆行列 の計算
https://www.youtube.com/watch?...
17:02

#行列
#数学 #大学数学

#群論の初歩 83

#行列 の積に関する #群 一覧：

(2) 複素数成分の場合

▶U(n) #ユニタリ群
#ユニタリ行列 (#逆行列 が #随伴行列)

▶SU(n) #特殊ユニタリ群
ユニタリかつ #行列式=1

※参考:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
特殊ユニタリ群は #素粒子物理学 で頻出.

#群論の初歩 82

#行列 の積に関する #群 一覧：

(1) おもに実数成分の場合

▶GL(n) #一般線形群
#正則行列

▶SL(n) #特殊線形群
#行列式=1

▶O(n) #直交群
実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列)
(行列式=±1)

▶SO(n) #特殊直交群(#回転群)
直交行列かつ行列式=1

#たった10ツイートでわかる線形代数

大学1年の夏学期
「#線形代数･#行列論」
10ツイで速習ですぞ！

1/10
Q.
#掃き出し法 で
1) 連立1次方程式 Ax=b を解け
2) Aの #逆行列 を計算

A.
1) #拡大係数行列 { A | b } を
#基本変形 で { E | b' } に

2) { A | E } を基本変形で { E | A' } に

#群論の初歩 72

Q.
#代数学 において
O(n) は何を表すか

A.
n 次の #直交群 (Orthogonal group)を表す.
実 #直交行列 の全体である.

O(n) ＝ { A∈GL(n, R) | A A^t ＝E }

なお直交行列とは，
#逆行列 が #転置行列 A^{-1} ＝ A^t
で与えられるような #行列 を指す.

#群論の初歩 52

Q.
3つの集合
GL( n, ℚ )
GL( n, ℝ )
GL( n, ℂ )
について，おのおの #群 を構成せよ

A.
各々，#行列 の積について群である.

各々は積演算について閉じており
積演算が #結合法則 を満たす.
#単位元 は #単位行列 であり
#逆元 は #逆行列 である.

#線形代数を独学できるYouTube動画

AKITOの勉強チャンネルによる
「#線形代数」シリーズ
9 / 86

【線形代数#9】#逆行列 ～定義とその性質～
https://www.youtube.com/watch?...
33:36

#行列
#数学 #大学数学

線型代数・行列論のまとめ
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▶#余因子展開
#行列式 を
「1つ小さなサイズの行列式」の和で表すこと

▶#クラメルの公式
#逆行列 の成分を
「行列式の比」により
明示的に書き下す公式。
計算量が大きいので，
実用的には #ガウスの消去法(#掃き出し法)を使う

線型代数の目的の中で
とくに「#逆行列 を求める」に注目した場合
アプローチは大きく分けて2つ

逆行列を求める
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・そのための手順(アルゴリズム):
#ガウスの消去法，#掃き出し法

・成分表示の方法:
#クラメルの公式

大学1年・前期の #線形代数 の目的
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・「#逆行列」を求めること
(＝連立一次方程式系を解くこと)

・「#固有値問題」を解くこと
(応用が一番多い)

・「#対角化」により関係をシンプルに整理すること(#ジョルダン標準形 を含む)

大学の線形代数は，#行列論 の入門から始め
・ #逆行列
・ #固有値
・ #対角化･2次形式
などを扱い，
線形空間の議論に進んでゆく.
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#線形空間 の議論では「抽象線型代数」が扱われ
・ #正規直交基底
・内積･ノルム
などを学ぶ.