#群論入門_剰余類編 70

Q.
#群 G の元 g と
Gの #部分群 H に対し，
元と群の積をとった形の表記
gH ＝ { gh | h∈H }
を考える.

#逆元 の集合
(gH)^{-1} を求めよ.

A.
(gH)^{-1}
＝{ z^{-1} | z ∈ gH }
＝{ (gh)^{-1} | h∈H }
＝{ h^{-1} g^{-1} | h∈H }
＝H^{-1} g^{-1}
＝H g^{-1}

#群論入門_剰余類編 69

Q.
#群 Gを
G＝{g|g∈G}
と表記する.

#逆元 の集合
G^{-1}＝{g^{-1}|g∈G}
を求めよ.

A.
群Gの元gとその #逆元 g^{-1}は
1対1に対応するので
{g^{-1}|g∈G}
＝{g|g∈G}
＝G
∴ G^{-1}＝G

群の全ての元の逆元をとると
(g^{-1}≠gでも)
集合としてはもとの群と同じ.

#群論入門_剰余類編 49

Q.
左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#対称律 を満たす事を示せ.

A.
(既に示してあるが再掲)
#逆元 の存在に関する群の #公理 より
ab^{-1} ∈ H　ならば
(ab^{-1})^{-1} ∈ H　であり
ba^{-1} ∈ H.
よって
a≡b (mod H)ならば
b≡a (mod H).

#群論入門_正規部分群編 33

Q.
#群 Gの2元x,yについて
[x, y] ∈ G
の #逆元 をG内で求め
#交換子 で表せ

A.
([x, y])^{-1}
=(x^{-1}･y^{-1}･x･y)^{-1}
複数元の積の逆元は
各元の逆元の逆順の積なので
=y^{-1}･x^{-1}･(y^{-1})^{-1}･(x^{-1})^{-1}
=y^{-1}･x^{-1}･y･x
=[y, x]

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p61より:
『#頂点 が #元 に #対応 し，
#線分 が群 #生成元 や
その #逆元 を乗ずることに
対応するような，
#有向線分 の網組織(#グラフ)
による #群 の表示は
#19世紀 の #数学者
#ケイリー により考案され
#ケイリー図型 という.』

#巡回群とは 52

群の #生成系(生成集合)
generating set of a group
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・部分集合Sで，
#生成 される #部分群 のすべての元が
Sの有限個の元と
それらの #逆元 の結合として表現できるもの.

・S 内にただ1つの元 x しかなければ，
‹S› を ‹x› と書く.

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 27

Q.
Hを
元aによって #生成 される
Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする.

Hが #群 である事を示せ.

A.
H の任意の2元に対し
(a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで
#二項演算 が #閉じている.
#単位元 は a^0＝e.
任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在.
よって H は群である.

#巡回群とは 21

Q.
整数全体の集合ℤを
#巡回群 とみなす場合
その #生成元 は.

A.
a＝+1 または
a＝-1 を生成元とし，
#二項演算 として加法
#単位元 1
元 x の #逆元 として －x を考え，
演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し
その全体の集合は
{ na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#代数系の初歩 26

Q.
#擬群 とは.

A.
#準群 に #単位元 e の存在を課したもの.

除法と単位元の存在より，
任意の元が #逆元 を持つことになる.

#擬群(loop)
https://en.wikipedia.org/wiki/...
・別名「ループ」.
・ #結合法則 は課されない.

#代数系の初歩 24

Q.
#準群 と
#群 を比較せよ.

A.
共通した性質:
・閉じた #二項演算 が定義されている.(マグマ)

群の場合:
・ #単位元 と #逆元 が存在し，#結合法則 を満たす.

準群の場合:
・単位元や結合法則は要請されない.
・逆元のかわりに「除法」が定義される.

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
4 / 16

群論02 #部分群 〜部分群の #単位元 ・ #逆元、#巡回群 の性質〜
https://www.youtube.com/watch?...
41:29

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数

#代数系の初歩 21

Q.
マグマに #結合法則 を課さないまま
#逆元 や #単位元 の存在を課したら
どうなるか

A.
#二項演算 が #閉じている 集合:
#マグマ
↓
マグマに「除法」演算の存在を課す:
#準群
↓
準群に単位元の存在を課す:
#擬群
↓
擬群に結合法則を課す:
#群

#代数系の初歩 20

Q.
#半群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
正の整数が全て出る
特殊なサイコロを考える.

#単位元 がないので
サイコロの目に0は無い.
(動かない=1回休み，が不可能で立ち止まれない)

#逆元 がないので
進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 19

Q.
#モノイド を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
0と正の全整数が出るような
特殊なサイコロを考える.

#単位元 を持つので
サイコロの目に0がある.
(0進む=動かない=1回休み)

#逆元(負の目)が無いので
進んだのと同じ分だけ後退したりできない.

#代数系の初歩 18

Q.
#群 を
数直線上の格子点を動く
すごろくで例えると…

A.
0を含む正負すべての整数が出るような
特殊なサイコロを考える.

#単位元 を持つので
サイコロの目に0がある.
(0進む=動かない=1回休み)

#逆元 を持つので
+2進んだら
-2で戻るなど後退(バック)も可能.

#代数系の初歩 17

Q.
マグマから
アーベル群までの5段階で
1つずつ条件を増やせ

A.
　　#マグマ: 閉
　　　#半群: 閉 結
　#モノイド: 閉 結 単
　　　　#群: 閉 結 単 逆
#アーベル群: 閉 結 単 逆 換　

閉 #二項演算 が #閉じている
結 #結合法則
単 #単位元
逆 #逆元
換 #交換法則

#代数系の初歩 16

Q.
マグマ
半群
モノイド
群
を順に定義

A.
集合が #内算法 を持てば
#マグマ

マグマに #結合法則 を課すと
#半群(演算が結合的なマグマ.結合マグマ)

半群に #単位元 の存在を課すと
#モノイド(単位的半群.単位的結合マグマ)

モノイドに #逆元 の存在を課すと
#群

#代数系の初歩 15

Q.
「半群」の定義が
どうしても記憶できない

A.
1.#二項演算 が #閉じている
2.#結合法則
3.#単位元
4.#逆元

#群 はこの4条件を満たすが
#半群 はその半分である(1),(2)の2条件のみ。

群の「半分」の条件しか満たさないので
"半群" なのです…
と記憶できるかも?