#デジタル信号とサンプリング 26

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 17

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
#周期 Ω=2π/τの無限列.
という事は…

ω軸上で横幅Ωで
1周期ぶんを切り出してτ倍すれば
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ
#逆フーリエ変換 で
アナログ信号を復元できる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 10

▶#フーリエ変換 後に
#逆フーリエ変換 すると
もとに戻る。
(ℱ_ω)^{-1} [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
f(t)

▶フーリエ変換後に
またフーリエ変換(重ねがけ)すると
もとには戻らず
#時間反転 する。
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

面白い性質ですね！

#フーリエ変換の性質や諸公式 7

ℱ^{-1}[ ℱ[ f(t) ] ]
=
f(t)

↑
この意味:
「#フーリエ変換 してから
#逆フーリエ変換 すると
もとに戻る.」

①ℱ[ f(t) ]
=
∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

②ℱ^{-1} [ F(jω) ]
=
(1/2π)∫{-∞→∞} F(jω) exp(jωt) dω

②の(1/2π)を忘れずに

#フーリエ変換の性質や諸公式 2

#フーリエ変換
F(jω)
=ℱ[ f(t) ]
=∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

#逆フーリエ変換
f(t)
=ℱ^{-1} [ F(jω) ]
=(1/2π)∫{-∞→∞} F(jω) exp(jωt) dω

ℱ は F の #花文字 という書体。
下記のScript(calligraphy)を参照
https://en.wikipedia.org/wiki/...
.

#デジタル信号の周波数解析 65

#逆フーリエ変換 でなく
#逆離散時間フーリエ変換 なら
ω軸上の #積分 区間は #有限長 で済む.

DTFT^{-1}[ F(ω) ]
=
(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω) dω
=
f[n]=f(nτ)
↑
このDTFT^{-1}の公式で，F(ω)に
ω軸上で #標本化 した波形を代入すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 51

ω軸上で #サンプリング した
F_d(ω)
=
F(ω)・δ_{Ω/M}(ω)
の時間 #波形 を調べるため
#逆フーリエ変換 すると…

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
ℱ^{-1}[ F(ω)・δ_{Ω/M}(ω) ]

ω軸上の #積 は
t軸上の #たたみ込み だから
=
ℱ^{-1}[ F(ω) ]
*
ℱ^{-1}[ δ_{Ω/M}(ω) ]

#デジタル信号の周波数解析 50

ω軸上のアナログ波形F(ω)に，
ω軸上で #インパルス列
δ_{Ω/M} (ω)
=
Σ{m=-∞→∞} δ(ω－m{Ω/M})
をかけたものは…

F_d(ω)
＝
F(ω)・δ_{Ω/M}(ω)
ω軸上の #デジタル信号 になる.

これはt軸上でどんな #波形 か？
#逆フーリエ変換 してみよう.

#デジタル信号の周波数解析 28

DTFT^{-1} の定義の #積分 範囲が
①{-π/τ→π/τ} #複素フーリエ級数展開
②{-∞→∞} #逆フーリエ変換
③{-π→π} ①を #規格化
の3通りある.
という事だが…

実は #信号処理 の教科書には
DTFT^{-1} どころか
#DTFT そのものが載ってなかったりする…！

#デジタル信号の周波数解析 23

DTFT^{-1} を求める操作の #積分 範囲が…

①ω軸上1 #周期(=#有限長 の #区間)なら:
#DTFT を #複素フーリエ級数展開 とみなし
複素フーリエ級数の展開係数の公式で
DTFT^{-1}を定義.

②{-∞→∞}(=#無限長 の区間)なら:
それは単なる #逆フーリエ変換.

#デジタル信号の周波数解析 18

▶#フーリエ変換
▶#逆フーリエ変換
▶#離散時間フーリエ変換
↑
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆離散時間フーリエ変換
↑
積分区間が #有限長！

有限長で何が嬉しいかと言うと
コンピューターで計算しやすい形に変形できる
という利点がある.(後述)

#デジタル信号の周波数解析 17

▶#フーリエ変換
#FT＝ℱ
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆フーリエ変換
FT^{-1}＝ ℱ^{-1}
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#離散時間フーリエ変換
#DTFT
積分区間が{-∞→∞}で無限長

▶#逆離散時間フーリエ変換
DTFT^{-1}
#積分 区間が #有限長！★

#デジタル信号とサンプリング 26

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 17

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
#周期 Ω=2π/τの無限列.
という事は…

ω軸上で横幅Ωで
1周期ぶんを切り出してτ倍すれば
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ
#逆フーリエ変換 で
アナログ信号を復元できる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 10

▶#フーリエ変換 後に
#逆フーリエ変換 すると
もとに戻る。
(ℱ_ω)^{-1} [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
f(t)

▶フーリエ変換後に
またフーリエ変換(重ねがけ)すると
もとには戻らず
#時間反転 する。
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

面白い性質ですね！

#フーリエ変換の性質や諸公式 7

ℱ^{-1}[ ℱ[ f(t) ] ]
=
f(t)

↑
この意味:
「#フーリエ変換 してから
#逆フーリエ変換 すると
もとに戻る.」

①ℱ[ f(t) ]
=
∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

②ℱ^{-1} [ F(jω) ]
=
(1/2π)∫{-∞→∞} F(jω) exp(jωt) dω

②の(1/2π)を忘れずに

#フーリエ変換の性質や諸公式 2

#フーリエ変換
F(jω)
=ℱ[ f(t) ]
=∫{-∞→∞} f(t) exp(-jωt) dt

#逆フーリエ変換
f(t)
=ℱ^{-1} [ F(jω) ]
=(1/2π)∫{-∞→∞} F(jω) exp(jωt) dω

ℱ は F の #花文字 という書体。
下記のScript(calligraphy)を参照
https://en.wikipedia.org/wiki/...
.