#解析力学 タグ一覧

①#解析力学_Lagrange形式編
最小作用の原理
オイラー・ラグランジュ方程式

②#解析力学_Hamilton形式編
ハミルトンの正準方程式
ポアソン括弧

③#解析力学_保存量と対称性編
第一積分(保存量)
ネーターの定理
リウヴィルの定理

④ほか
#解析力学の知識

#解析力学_Lagrange形式編 118

整理:

物理的安定性を要請すると
「#ラグランジアン は
q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき，
L=L(q,q̇)とおけて
#最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると，
#オイラー・ラグランジュ方程式 や
#ニュートンの運動方程式 は
2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 117

「#オストログラドスキーの定理:
整合的な修正重力理論への道のり」(本橋，2016年)
https://www.jps.or.jp/books/ga...

『この定理自体は #一般相対論 の知識を用いず
#拘束系 の #解析力学 の手法により理解できる。
定理の面白さと最近の研究における応用を紹介』

#解析力学_Lagrange形式編 116

Q.
ミハイル･#オストログラツキー
主な業績は

A.
#電磁気学 で有名な
#ガウスの定理(#発散定理)に
初めて証明を与えた.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
1762 #ラグランジュ が発見
1813 #ガウス が再発見
1825 #グリーン が再発見
1831 オストログラツキーが再発見

#解析力学_Lagrange形式編 115

Q.
物理世界で運動方程式が2階であることの
説明を与える
#オストログラドスキーの定理.
↑
誰が証明したのか？

A.
ミハイル･ #オストログラツキー
(Ostrogradsky，1801～1862)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
ロシア出身の数学者&物理学者で
#変分法 などを研究.

#解析力学_Lagrange形式編 114

「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田)

p143の引用の続き
『…一方，物理学を始め
さまざまな興味深い問題を支配する常微分方程式は
2階常微分方程式に属するので，
4階以上の常微分方程式に支配される
複雑な問題を掘り下げることはしない。』

#解析力学_Lagrange形式編 113

「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田)の
3-5「高階導関数を含む変分問題」に
#ラグランジアン が2階導関数を含まない件が書かれている。
p143から引用：
『2階導関数までを含む場合のオイラー方程式は，
独立変数xの4階常微分方程式となる。(続)』

#解析力学_Lagrange形式編 112

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#オストログラドスキーの定理 は
通常の物理系の #運動方程式 が
2階微分方程式として定式化される理由を
説明する，と解釈される」

#ニュートンの運動方程式 や
#オイラー・ラグランジュ方程式 が
2階なのは
このためなんですね.

#解析力学_Lagrange形式編 111

現実の物理世界では
#エネルギー は－∞に発散せず最小値を持つ.
#ハミルトニアン が下に #有界
↓
そのような系は
#線型不安定性
(#オストログラドスキー不安定性)をもたない
↓
そのような系は
#ラグランジアン にq̈を含まない
(#オストログラドスキーの定理)

#解析力学_Lagrange形式編 110

現実の物理世界では…

▶#運動エネルギー は－∞に発散しない！
(#絶対零度 より冷たくなれない)

▶#位置エネルギー も－∞に発散しない！
(無限に地中深くへ埋没してゆけない)

よって現実の物理世界では
#エネルギー は下に有界。つまり最小値を持つ。

#解析力学_Lagrange形式編 109

Q.
「おわんの最下部で静止した球が
ﾒﾘﾒﾘ…とめり込んで
無限に地中深くへ埋没してゆく事は無い」
↑
球が超重くて
おわんや地面の材質が超ﾓｯﾌﾓﾌで柔らかい場合
起こりうるのでは？

A.
惑星の中心まで埋没した時点で停まる
(=位置エネルギー最小値)

#解析力学_Lagrange形式編 108

固いおわんの内部に球を放つと
曲面に沿って少し運動した後
球は底で静止する.

が，その後で球がひとりでに
おわんの下部へ「ﾒﾘﾒﾘ…」とめり込んで
無限に地中深くへ埋没してゆくとしたら…?

「#エネルギー に最小値が無い」とは
そういうありえない現象.

#解析力学_Lagrange形式編 107

物体を冷やし続け
温度が0[K](#絶対零度)になると
構成分子の #運動エネルギー がゼロゆえ
さらに冷やすことは不可能！

「エネルギーがマイナス無限大に発散」
というのは，
この状況からさらにいくらでも
"冷やす" 事ができてしまう
ということ(起こり得ない)

#解析力学_Lagrange形式編 106

#線型不安定性
(#オストログラドスキー不安定性)
をもつ系は…

・ #エネルギー の最小状態が存在せず
物理的に不安定.

・ #ハミルトニアン が下に非有界となり
物理的に不安定.

要するに
エネルギーが －∞ に発散してしまい
現実にあり得ないわけだが…

#解析力学_Lagrange形式編 105

#オストログラドスキーの定理
theorem of Ostrogradsky
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

力学変数の高階微分を
#運動方程式 に含むような系では，
#ハミルトニアン が「下に非有界」となり，
物理的に不安定なモードが存在するため
そのような系は「物理的ではない」.

#解析力学_Lagrange形式編 104

Q.
「LはL(q,q̇)とおく事ができ
q̈や高階微分変数を含まない」
と仮定できる理由

A.
「#ラグランジアン がq̈を含む系は
エネルギーの最小状態が存在せず
物理的に不安定になる」事が知られている.
・ #線型不安定性
・ #オストログラドスキー不安定性
と呼ぶ.

#解析力学_Lagrange形式編 103

「#ラグランジアン Lが
q̈やそれ以上の高階微分を
変数として含む時
#オイラー・ラグランジュ方程式 は
3階以上の微分方程式になる」
ということが分かった.

でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき
#オイラー・ラグランジュ方程式 は2階.
なぜそうおける?

#解析力学_Lagrange形式編 102

#ラグランジアン
L(q,q̇,…,q^(n))
が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は
Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0

Lがqの2階微分まで含み
L=L(q,q̇,q̈)ならば
∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0
qに関する4階微分方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 101

Lがqのn階微分まで含み
L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n))
である時
#最小作用の原理
δS＝δ∫Ldt＝0
にLを代入し
#変分法 で計算すると
「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」
として
Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0
を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 100

Q.
#ラグランジアン がもし
qの二階以上の微分(高階の微分)
を含む場合
#オイラー・ラグランジュ方程式 はどうなる？

A.
下記PDFの12ページに計算が.
http://wwwacty.phys.sci.osaka-...
オイラー・ラグランジュ方程式は
2階ではなく
もっと高階の微分方程式になる.