#解析力学 タグ一覧

①#解析力学_Lagrange形式編
最小作用の原理
オイラー・ラグランジュ方程式

②#解析力学_Hamilton形式編
ハミルトンの正準方程式
ポアソン括弧

③#解析力学_保存量と対称性編
第一積分(保存量)
ネーターの定理
リウヴィルの定理

④ほか
#解析力学の知識

#解析力学_Hamilton形式編 24

Q.
①#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

②#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

↑
この2つは同じことを言っているの?

A.
どちらも
#最小作用の原理 δS=0
と同じ意味.
#作用 Sの変数として
①Lと
②Hのどちらで書くかの差.

#解析力学_Hamilton形式編 23

並べて比較

▶#ラグランジュ形式

#ラグランジアン
L(q,q̇)=T-V

#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

▶#ハミルトン形式

#正準運動量
p=∂L/∂q̇

#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p-L(q,q̇)

#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22

#ハミルトン形式 を整理:

#正準運動量 p＝∂L/∂q̇と
#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p－L(q,q̇)
を定義すると，
#作用 S=∫{t1→t2}Ldt および
#最小作用の原理 δS=0の式は
Lの代わりに
Hの式となり，
#ハミルトンの正準方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
が導出される.

#解析力学_Hamilton形式編 21

Q.
#ハミルトン方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
に従う物理量が
#相空間 内で描く軌道は
決して交差しない
と言えるのはなぜか

A.
軌道上の1点(q,p)を指定した時
ハミルトン方程式の左辺から
その1点の時間変化の方向ベクトルが
相空間内でただ一通りに定まるため

#解析力学_Hamilton形式編 20

Q.
H(q,p)の #ハミルトン方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p
階数は?

A.
H(q,p)はq,pの一階微分を含まない.

右辺の
∂/∂qと
∂/∂pは
H内のq,pの時間微分の階数を上げない.

左辺はq,pの一階微分.

∴q,pのtによる一階微分を含み
q,pに関し各々一階の連立微分方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 19

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ＝－∂H/∂q ①
q̇＝　∂H/∂p ②
↑
この式の①②右辺の
∂H/∂q と
∂H/∂p は
微分方程式の階数を上げない
と言えるのはなぜ？

A.
Hをqやpで偏微分しても
Hに含まれるq, pは
時間微分の階数が増えず
q, pのまま.

#解析力学_Hamilton形式編 18

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ＝－∂H/∂q ①
q̇＝　∂H/∂p ②
は，
Hではなくq,pに関する微分方程式.

①②の左辺にある時間微分のドット
すなわち (d/dt) の部分は
微分方程式の階数を生む？

A.
階数を生む.
①②の左辺はq,pに関し一階微分の量.

#解析力学_Hamilton形式編 17

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ=-∂H/∂q①
q̇= ∂H/∂p②
はHではなくq,pに関する微分方程式で
1)①左:tで全微分
2)①右:qで偏微分
3)②左:tで全微分
4)②右:pで偏微分
の4か所に微分がある.
このうち
微分方程式の「階数」を上げるのはどれ?

A.
(1)と(3)

#解析力学_Hamilton形式編 16

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ＝－∂H/∂q ①
q̇＝　∂H/∂p ②
↑
これって
「Hを求めるための微分方程式」じゃないの？

A.
H(＝q̇p－L)はすでにわかっているとして
H(q,p)をqとpで表記したものを①②に代入したら
q(t)，p(t) という時間軌跡が求まる.

#解析力学_Hamilton形式編 15

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
↑
左辺は時間での一階微分
右辺はq,pでの一階の偏微分。
p,q,Hのどれも微分の階数は最大で一階だから
ハミルトン方程式は1階の連立微分方程式？

A.
ちょっと違う.
階数を考える時にはHを残さない.

#解析力学_Hamilton形式編 14

#ハミルトン方程式 絵かき歌♪

上から下へpとq
下から上へpとq
p↓　　 q↑
q↓　　 p↑

マイナス付けて ドットして
ṗ -　　 q
q̇ 　　　p

デルエイチ デル
デルエイチ デル
ṗ -[∂H/∂]q
q̇ [∂H/∂]p

イコール結んで出来上がり!
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 13

Q.
#最小作用の原理 から
#ハミルトンの正準方程式 を導出

A.
計算は下記URL参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#作用積分 Sは
#ラグランジアン Lの時間積分.

Lと #ハミルトニアン Hに
#ルジャンドル変換 による変換関係があるので
SをHで表せて
Sの停留点を求める.

#解析力学_Hamilton形式編 12

Q.
#ハミルトン方程式 とは

A.
ṗ ＝ － ∂H / ∂q
q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p

#ハミルトン力学 で，
#正準変数 と
#ハミルトニアン の偏微分の間の関係式.

ṗ の式中のマイナスを忘れずに.

別名
#正準方程式(canonical equations).
#ハミルトンの正準方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 11

Q.
1次元調和振動子の運動は
(p,x)の #相空間 内で楕円軌道.
↑
これは，時間tをあえて軸に取らない
#ハミルトン形式 の特徴ですが
そのメリットは？

A.
運動全体の様子が
有限の描画範囲内に収まれば，
運動の「構造」を定性的に把握しやすい.

※「構造」が重要！

#解析力学_Hamilton形式編 10

Q.
1次元調和振動子の運動を…

①
時間tと位置xを軸に取って
グラフ描画すると？

②
運動量pと位置xを軸に取って
グラフ描画すると？

A.
①サインカーブが無限に続く.
グラフが無限の広がりを持つ.

②グラフは有限の領域内に，
楕円という形でおさまる.

#解析力学_Hamilton形式編 9

Q.
1次元調和振動子は
#相空間 上でどんな軌道を描くか

A.
粒子の位置を x
運動量を p とすると
#位相空間 上の点は (x,p) で表される.

#ハミルトニアン は
H＝(p^2)/2m＋(kx^2)/2
なので
エネルギーが一定の条件下で振動する場合
相空間上で描く軌跡は楕円.

#解析力学_Hamilton形式編 8

Q.
物理学で #相空間(#位相空間)とは

A.
phase space
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

力学系の位置qと運動量pを
座標(直交軸)とする空間.

数学の位相空間(topological space)とは別物.

#ハミルトン形式 では
物理量は #正準変数 q,pの関数で
相空間上で軌道を描く.

#解析力学_Hamilton形式編 7

Q.
#正準変数 とは

A.
canonical variable
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#解析力学 の中でも，
とくに #ハミルトン力学 において
物体の物理量を表す基本変数として用いられる
「位置と運動量の組」.

#一般化座標 q
#一般化運動量 p
のペア.

#解析力学_Hamilton形式編 6

Q.
#ハミルトニアン の定義式
H＝q̇p－L
を覚える #語呂合わせ

A
はみだしは急(きゅう)だけどピアノ弾(ひ)ける
H=　はみだしわ
q̇　きゅうだけど(※ｷｭｰﾄﾞｯﾄ)
p　ピアノ
－L　ひける(※引く･ｴﾙ)

演奏会が延長し
はみ出した時間で
急な依頼だがピアノ演奏.