#解析力学 タグ一覧

①#解析力学_Lagrange形式編
最小作用の原理
オイラー・ラグランジュ方程式

②#解析力学_Hamilton形式編
ハミルトンの正準方程式
ポアソン括弧

③#解析力学_保存量と対称性編
第一積分(保存量)
ネーターの定理
リウヴィルの定理

④ほか
#解析力学の知識

#解析力学_保存量と対称性編 19

Q.
#ネーターの定理 と
#第一積分 との関係

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ネーターの定理によれば
「#ラグランジュ形式 または
#ハミルトン形式 の物理系に関し，
系の1つの連続的な #対称性 に付随して
1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 18

Q.
#ハミルトン力学 の
完全積分可能条件である
リウヴィル=アーノルドの定理(#リウヴィルの定理)
誰が発見?

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
1853年リウヴィル:
「系の自由度に等しい数の
#第一積分 が存在すれば求積可能」

1963年アーノルド:
幾何学の言葉で再定式化

#解析力学_保存量と対称性編 17

Q.
#作用・角変数 とは.

A.
action-angle variable
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#可積分 な #正準力学系 に導入される，
①#作用 変数 J
②#角変数 θ
の組からなる #正準変数.

Action-angle coordinates
https://en.wikipedia.org/wiki/...
.

#解析力学_保存量と対称性編 16

Q.
リウヴィル=アーノルドの定理とは.

A.
Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

独立な #第一積分 の組が
#包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能.

#正準変数 として #作用・角変数 を取れて
#相空間 での軌道はトーラス.

#解析力学_保存量と対称性編 15

Q.
#包合系 とは

A.
involution system
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
自由度nの #ハミルトン力学系 に
n個の独立な #第一積分(#保存量)
F_1, ..., F_n が存在し
それらの #ポアソン括弧 が #可換
{ F_i, F_j }＝0
である時
これらの第一積分は包合系をなすという.

#解析力学_保存量と対称性編 14

Q.
物理学において
#対称性 と #保存量 は
中心的な重要概念であるが，
「保存量」を
「保存料」と変換ミスした場合
何が起こるか

A.
食品添加物の意味になってしまう.

保存料
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
＞食品中にいる細菌の増殖を抑制し，変質・腐敗を防ぐ。

#解析力学_保存量と対称性編 13

Q.
#ハミルトン力学 において，
#ネーターの定理 に基づき
系の #保存量 をどのように表現できるか

A.
下記URLの導出を参照.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ハミルトニアン H との #ポアソン括弧
{ H, G_δ }
を使って，
保存量 G_δ を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 12

Q.
#ラグランジュ力学 において，
#ネーターの定理 に基づき
系の #保存量 をどのように表現できるか

A.
下記URLの導出を参照.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ラグランジアン L
#対称性 のパラメータ T, Q
を使って，
保存量 X_r を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 11

Q.
#対称性 と #保存則 のセットを
思いつく限り挙げよ

A.
下記URLに一覧表がある.

「保存則と対称性」
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

例:
・時間並進に対するエネルギー保存
・空間並進に対する運動量保存
・空間回転に対する角運動量保存
などなど

#解析力学_保存量と対称性編 10

Q.
#解析力学 における
#ネーターの定理 の結論を簡潔に述べよ

A.
Noether's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

系に連続的な #対称性 がある場合
その対称性に対応する #保存則 が存在する.
つまり，必ず
何らかの物理量が
時間によらず一定値をとる(#保存量).

#解析力学_保存量と対称性編 9

Q.
#対称性 を記述する数学とは.

A.
保存則と対称性(Conservation laws and symmetry)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

"物理的対称性を記述する変換は #群.
#群論 は物理学のための数学として重要.

連続的対称性は
#連続群(#リー群)によって数学的に規定される."

#解析力学_保存量と対称性編 8

Q.
#解析力学 では
#対称性 があれば
#運動方程式 は変化しない.
なぜそう言えるか

A.
#最小作用の原理 より
系の運動方程式は
#作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される.

#対称性 を持つ変換は
作用Sを不変に保ち
作用の変分δSも0のままで
運動方程式は不変.

#解析力学_保存量と対称性編 7

Q.
#解析力学 で
#対称性 とは何を指すか

A.
対称性 (symmetry)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

一般に対称性とは
「変換に対して記述が変化しない事」を指す.

解析力学では
「ある(座標系などの)変換に対し
#作用積分 が変化しない」時
その変換を対称性と呼ぶ.

#解析力学_保存量と対称性編 6

Q.
#循環座標 は常に存在し
#保存量(#第一積分)を導出することが常に可能?

A.
座標系の取り方に依存するので
循環座標は常に存在するとは限らない.

しかし #時空 の #対称性 により
①#エネルギー
②#運動量
③#角運動量
の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 5

Q.
#循環座標(cyclic coordinates)って
なぜ「循環」というネーミングなのか

A.
#対称性 が有って
#保存則 を生み出す意だろう.

極座標でθが循環座標なら
角度変化の対称性があり
円周上を回って循環・巡回するイメージ.

#群論 では
cyclic group=「#巡回群」.

#解析力学_保存量と対称性編 4

Q.
#循環座標 q_c が存在する時
#保存量(#第一積分)が存在すると言えるのはなぜか

A.
n自由度で
#ラグランジュ方程式
∂L/∂q_i ＝ (d/dt)(∂L/∂q̇_i)
をn個立式する際
c番目の式は
左辺∂L/∂q_c = 0より
右辺(d/dt)(∂L/∂q̇_c) = 0で
∂L/∂q̇_c = 時不変定数.

#解析力学_保存量と対称性編 3

Q.
n自由度の系で
#循環座標 q_iが存在する時
#ラグランジアン Lはどんな形か

A.
一般にLはq,q̇,tの関数で
L(
q_1, q_2, …, q_n,
q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

Lは循環座標q_iに依存しないので
L(
q_1, q_2, …, q_{i-1}, q_{i+1}, … q_n,
q̇_1, q̇_2, …, q̇_n, t)

#解析力学_保存量と対称性編 2

Q.
#循環座標 とは.

A.
循環座標 (cyclic coordinates)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ラグランジアン L が
関数として陽に依存しない
一般座標変数 q_i のこと.

もし循環座標が存在する場合，
それに対応する共役運動量 p_i は
系の #保存量(#第一積分)となる.

#解析力学_保存量と対称性編 1

Q.
「#運動の積分」とは

A.
integral of motion
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#古典力学 において
系の時間発展に際し
時間変化しない物理量のことを指す.

別名:
・ #保存量 (conserved quantity)
・ #第一積分 (first integral)
・運動の定数 (constant of motion)