#複素解析を概観 35

▶[-∞,∞]で分子に #三角関数 を含む実積分

xをzに
cos xをe^iz等に置き換えた積分を作れば
実軸上でその
実部=cos xによる積分
虚部=sin xによる積分

半円を経路にとり
半径R→∞で積分値が消えるようにすると
上(下)半平面で #留数 評価すれば
実軸上の積分値になる

#複素解析を概観 34

#複素積分 を #実積分 に応用

▶区間 [0, 2π] で
分母に #三角関数 を含む場合

z = e^iθ として
#単位円周 を積分経路とし
dz = i z dθ
cosθ = ( z ＋ z^{-1} ) / 2
sinθ = ( z － z^{-1} ) / 2i
で
zの有理式に置き換える.
分母の #留数 を拾って積分値が分かる.

#複素解析を概観 33

R→∞の円周Γ上での積分値の評価法：
分母がRやzの多項式かどうかを見る。

| f(z) | ≦ M / R^k　(k≧1)
のようなMがあるか，
または
lim{z→∞} z^k・f(z)　(k≧1)
が有限ならば
lim{R→∞} ∲_Γ f(z) dz ＝ 0

#複素解析を概観 32

#複素積分 を #実積分 に応用

▶区間 [－∞, ∞] での実積分の場合

半径Rの半円をとり
R→∞の時
円周上での f(z) の積分が
0になるとする.

この時，実軸上 [－∞, ∞] の積分は
f(z) の #周回積分 の
上半平面(または下半平面)にある
全 #留数 による評価と等しい.

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

#複素解析を概観 30

f(z) の #極 が1位であっても，
列挙が面倒な場合の #留数 の求め方：
※例: 分母が(1＋x^6)など

1位の #特異点 に対する定理
F(z) ＝ f(z)/g(z) について
Res[ F(z) ]_{z=z_0} ＝ f(z_0) / g ' (z_0)
を使う。

※下記p9参照
http://www.th.phys.titech.ac.j...
.

#複素解析を概観 35

▶[-∞,∞]で分子に #三角関数 を含む実積分

xをzに
cos xをe^iz等に置き換えた積分を作れば
実軸上でその
実部=cos xによる積分
虚部=sin xによる積分

半円を経路にとり
半径R→∞で積分値が消えるようにすると
上(下)半平面で #留数 評価すれば
実軸上の積分値になる

#複素解析を概観 34

#複素積分 を #実積分 に応用

▶区間 [0, 2π] で
分母に #三角関数 を含む場合

z = e^iθ として
#単位円周 を積分経路とし
dz = i z dθ
cosθ = ( z ＋ z^{-1} ) / 2
sinθ = ( z － z^{-1} ) / 2i
で
zの有理式に置き換える.
分母の #留数 を拾って積分値が分かる.

#複素解析を概観 29

f(z) が
k位の #極 を持つ時の
#留数 の求め方:

Res[ f(z_0) ]
＝
( 1 / (k－1)! )
{
( d^{k-1}/dz^{k-1} )[ (z－z_0)^k・f(z) ]
}_{z=z_0}

低次の項は
k次式をかけて次数を上げた後
k-1回の微分で消す.
-1次の項が定数となり残る.
後に高次の項はz_0を代入して消す.

#複素解析を概観 33

R→∞の円周Γ上での積分値の評価法：
分母がRやzの多項式かどうかを見る。

| f(z) | ≦ M / R^k　(k≧1)
のようなMがあるか，
または
lim{z→∞} z^k・f(z)　(k≧1)
が有限ならば
lim{R→∞} ∲_Γ f(z) dz ＝ 0

#複素解析を概観 32

#複素積分 を #実積分 に応用

▶区間 [－∞, ∞] での実積分の場合

半径Rの半円をとり
R→∞の時
円周上での f(z) の積分が
0になるとする.

この時，実軸上 [－∞, ∞] の積分は
f(z) の #周回積分 の
上半平面(または下半平面)にある
全 #留数 による評価と等しい.

#複素解析を概観 28

#留数 の求め方

▶すぐに f(z) を #特異点 z_0 周りに
#ローラン展開 できれば，
留数はローラン展開の係数を使って
α_{-1} ＝ Res[ f(z_0) ]

▶f(z) が1位の #極 を持つなら
Res[ f(z_0) ] ＝ { (z－z_0) f(z) }_{z ＝ z_0}

#複素解析を概観 31

ここまでで #複素関数 の #周回積分 の性質：

・もしf(z)が #正則 であれば，
周回積分は0。

・もしf(z)が #特異点 を持てば，
全特異点の #留数 を拾えば
周回積分の値が求まる。

#複素解析を概観 30

f(z) の #極 が1位であっても，
列挙が面倒な場合の #留数 の求め方：
※例: 分母が(1＋x^6)など

1位の #特異点 に対する定理
F(z) ＝ f(z)/g(z) について
Res[ F(z) ]_{z=z_0} ＝ f(z_0) / g ' (z_0)
を使う。

※下記p9参照
http://www.th.phys.titech.ac.j...
.

#複素解析を概観 27

#留数定理 (residue theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

f(z) がD内に #孤立特異点 を持ち，
それ以外の点で #正則 であれば

∲_{∂D} f(z) dz ＝ 2πi Σ Res[ f(z) ]

ただし #周回積分 は #偏角 が正の向きに実行する。

#複素解析を概観 29

f(z) が
k位の #極 を持つ時の
#留数 の求め方:

Res[ f(z_0) ]
＝
( 1 / (k－1)! )
{
( d^{k-1}/dz^{k-1} )[ (z－z_0)^k・f(z) ]
}_{z=z_0}

低次の項は
k次式をかけて次数を上げた後
k-1回の微分で消す.
-1次の項が定数となり残る.
後に高次の項はz_0を代入して消す.

#複素解析を概観 28

#留数 の求め方

▶すぐに f(z) を #特異点 z_0 周りに
#ローラン展開 できれば，
留数はローラン展開の係数を使って
α_{-1} ＝ Res[ f(z_0) ]

▶f(z) が1位の #極 を持つなら
Res[ f(z_0) ] ＝ { (z－z_0) f(z) }_{z ＝ z_0}

#複素解析を概観 26

#留数(りゅうすう)residue
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･有理型関数が #孤立特異点 を持つ時，
その #特異点 を囲む経路に沿って
#周回積分 することで得られる #複素数 を
留数という.

･#ローラン展開 が既知な函数については
積分を計算せず
直ちに留数を求められる.

#複素解析を概観 27

#留数定理 (residue theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

f(z) がD内に #孤立特異点 を持ち，
それ以外の点で #正則 であれば

∲_{∂D} f(z) dz ＝ 2πi Σ Res[ f(z) ]

ただし #周回積分 は #偏角 が正の向きに実行する。

#複素解析を概観 25

▶#留数の定理:

∲_C f(z) dz
＝
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}
＝
2πi Σ Res[ f(z) ]

#周回積分 の値を求めるには，
積分経路の #閉曲線 内の
全 #特異点 周りで
うまく
#ローラン展開 係数 α_{-1}
＝#留数
＝Res[ f(z) ]
の総和を求めればよい。