#フーリエ変換の具体的な計算 25

#インパルス列 を
#複素フーリエ級数展開 すると…

δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
展開係数c_n=1/Tより
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

つまりインパルス列は
#複素正弦波 の「均等な和」なのである！

#フーリエ変換の具体的な計算 24

δ_T (t)の
#複素フーリエ級数展開 の展開係数
c_n
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} {
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(-j2πn･t/T)
} dt

区間{-T/2→T/2}で #積分 すると
Σの総和の中で
k=0つまりt=0･Tの項のみが生き残るので
c_n
=
(1/T){
e^(-j2πn･0/T)
}
=
1/T

#フーリエ変換の具体的な計算 23

δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
#複素フーリエ級数展開 し
=
Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)

係数は
c_n
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} δ_T(t) e^(－j2πn･t/T) dt
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} {
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(－j2πn･t/T)
} dt
このΣはどうなる？

#フーリエ変換の性質や諸公式 6

#複素フーリエ級数展開 から
#フーリエ変換 を導出した時の式…
f(t)
=(1/2π)∫{－∞→∞}{
[ ∫{－∞→∞}f(s)exp(－jωs)ds ] ①
･
e^(jωt)
}dω
↑
ℱとℱ^{-1}で書きなおすと
①の [ ] 内=F(jω)=ℱ[ f(t) ]なので
f(t)
=ℱ^{-1}[ ℱ[ f(t) ] ]

#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 46

①#フーリエ級数展開
a_n=(2/T)∫{-T/2→T/2}f(s)cos(2πns/T)ds
b_n=(2/T)∫{-T/2→T/2}f(s)sin(2πns/T)ds
n:離散

②#複素フーリエ級数展開
c_m=(1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)e^(-j2πms/T)ds
m:離散

③#フーリエ変換
F(ω)=∫{-∞→∞}f(s)e^(-jωs)ds
ω:連続

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 44

「#複素フーリエ級数展開 で
T→∞の #極限 をとれば
#フーリエ変換 を導出できる」
↑
Tは信号の #周期 だから，
Tが無限大という事は
いつまでたっても信号の #波形 に
「繰り返しが現れない」という事.

つまり，#周期信号 ではない
一般の波形を扱える！

#アナログ信号の解析法 43

f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)exp(-j2πm･s/T)ds
･
e^(j2πm･t/T)
}
↑
#複素フーリエ級数展開 で
T→∞の #極限 をとれば
lim{T→∞}f(t)
=(1/2π)∫{-∞→∞}F(ω)exp(jωt)dω
※F(ω)=∫{-∞→∞}f(s)exp(-jωs)ds
#フーリエ変換 になる.

#アナログ信号の解析法 40

#複素フーリエ級数展開 の式…
f(t)
=
Σ{m=-∞→＋∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds
･
e^(j2πm･t/T)
}
↑
Σの中身はm/Tを引数に取る関数で
全体に係数1/Tが付く.

という事はつまり
T→∞の極限をとれば
#区分求積法 の公式が使える.

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
↓
↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
↓
▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 33

#複素フーリエ級数展開 のメリットは
もう1つあり…

「#複素正弦波 で書かれているので
変形して #フーリエ変換 を導出しやすい」
という利点がある.

フーリエ変換:
f(t)＝(1/2π) ∫{－∞→∞} F(ω) exp(jωt) dω
F(ω)＝∫{－∞→∞} f(t) exp(－jωt) dt

#アナログ信号の解析法 32

#フーリエ級数展開 と比べた場合
#複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？

・sin, cos だけでなく
#exp で表記した #複素正弦波 も
#直交関数系 なのだと分かる

・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが
expという1項だけで #展開 でき，
表記がより簡潔

#アナログ信号の解析法 31

#複素フーリエ級数展開:
f(t)=
Σ{m=-∞→＋∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)exp(－j2πm s/T)ds ①
･
e^(j2πm t/T) ②
}

①と②で #exp 内の符号が異なる.

元の連続信号f(t)を
正の向きに回る #正弦波 exp(+～)で
#級数展開 したいので，
②のexp内の符号は正.

#アナログ信号の解析法 30

▶#複素フーリエ級数展開

f(t)=Σ{m=-∞→+∞} c_m･e^(j2πm･t/T)
係数は
c_m=(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm･s/T) ds

1つの式にまとめると…
f(t)
=
Σ{m=-∞→+∞}{
(1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds
･
e^(j2πm･t/T)
}

#アナログ信号の解析法 29

#展開 の #係数 を
#積分形 で表示！

▶#フーリエ級数展開:
a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos(2πn s/T) ds
b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin(2πn s/T) ds

▶#複素フーリエ級数展開:
c_m＝(a_m－j b_m)/2
＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm s/T) ds

#アナログ信号の解析法 28

f(t)
=
a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞}{
a_n cos(2πn t/T)＋
b_n sin(2πn t/T)
}…①
=
Σ{m=－∞→＋∞}{
{(a_m － j b_m)/2} e^(j2πm t/T)
}
=
Σ{m=－∞→＋∞} c_m・e^(j2πm t/T)
…②

c_m ＝ (a_m － j b_m) / 2
これが #複素フーリエ級数展開 の係数.

#アナログ信号の解析法 23

#フーリエ級数展開
f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞} {
a_n・cos( 2πn・t/T )＋
b_n・sin( 2πn・t/T )
}
↑
この式に
cosθ＝{e^(jθ)＋e^(－jθ)}/2
sinθ＝{e^(jθ)－e^(－jθ)}/2j
を代入すれば，
cos,sinが消えて
#exp のΣになり
#複素フーリエ級数展開 になる.

#アナログ信号の解析法 3

①#フーリエ級数展開
#有限長 #連続信号 の
無限長離散スペクトルを得る.
cos,sinのΣで展開

②#複素フーリエ級数展開
①をexpに書き換え.
cos,sinの展開の2度手間を省く

③#フーリエ変換
#無限長 連続信号の
無限長連続スペクトルを得る.
expの #積分 で展開