#群論入門_正規部分群編 67
↑
このハッシュタグの復習：

・ #共役変換(#内部自己同型写像)
・ #正規部分群 の定義
・ #自明な正規部分群 と #単純群
・ #正規列 と #組成列

・ #交換子 と #交換子群
・ #交換子群列 と #可解群

全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 66

スマホから数式を入力しやすいように，
下記の記号を単語登録し
変換できるようにしておくとよい。

せいきぶぶんぐん (正規部分群として含む場合)
⊳　⊲

せいきぶぶんぐん (正規部分群として含まない場合)
⋫　⋪

「こうかんし」
[ , ]
a⁻¹b⁻¹ab

#群論入門_正規部分群編 65

英語名称のおさらい・続

#特性部分群 characteristic subgroup
#交換子群列(導来列) derived series
#可解群 solvable group，soluble group

英訳の練習問題:
・正規部分群の定義を英語で書け.
・交換子群の定義を英語で書け.
・可解群の定義を英語で書け.

#群論入門_正規部分群編 64

英語名称のおさらい・続

#正規列(正規鎖) subnormal series
#組成列 composition series
#主組成列 normal series

#交換子 commutator

#交換子群 commutator group
#交換子部分群 commutator subgroup

#導来群 derived group
#導来部分群 derived subgroup

#群論入門_正規部分群編 63

英語名称のおさらい

#共役(共軛) conjugate
#共役元 conjugate element

#共役変換 conjugation
#相似変換 similarity transformation
#内部自己同型写像 inner automorphism

#共役類 conjugacy class

#正規部分群 normal subgroup
#単純群 simple group

#群論入門_正規部分群編 62

#群論 を学びはじめて
最初につまずくポイントになりやすいのが
「#剰余類」(および #剰余群)という概念.

このタグの連ツイでは，
そのつまずきポイントである
「剰余類」を持ち出さず，
かわりに「#交換子群列」を使って
#可解群 の概念を定義した.

#群論入門_正規部分群編 61

「5次方程式に #解の公式 が無い事」の
要になる概念が #可解群.

本来，可解群の導入には
① #対称群，#交代群
② #同値類，#剰余類
③ #剰余群
などの説明を要するが…

このタグの連ツイでは
①②③のいずれもふれず，
「#可解」を最短で
導入・解説してみた.

#群論入門_正規部分群編 60

Q.
#ガロア理論 で
#可解群 の概念はなぜ重要?

A.
n次方程式には
その方程式の #ガロア群 という
#群 を定義できる.

ガロア群が #可解 ならば
その方程式には #解の公式 が存在する.

5次以上の方程式のガロア群は
可解群でないので，
解の公式が存在しない.

#群論入門_正規部分群編 59

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達しない」
↑
列の末尾に #単位元 が無いってこと？

A.
そうではない.
先頭の #群 Gは必ず単位元eを含み
その #交換子群 も必ずeを含み
列内で順次，常にeを含む.
e"以外"の元を「消す」事ができれば単位群に到達する.

#群論入門_正規部分群編 58

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
しない場合もあるの？

A.
ある #群 Gの #交換子群 D(G)が
G自身になってしまう事がある.
交換子群列のどこかでこれが生じると
D( D_i(G) )＝D_i(G)
で
…⊳D_i(G)⊳D_i(G)
となってしまい
{e}に到達できない.

#群論入門_正規部分群編 57

#交換子群列
G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳…⊳D_n(G)={e}

D_1(G)は
「Gの非可換性」

D_2(G)は
『「Gの非可換性」の非可換性』

末尾「={e}」は
非可換性が消えるという意味.
「Gの非可換性の非可換性の非可換性の…(有限回繰り返す)…の非可換性，は消えて可換になる」

#群論入門_正規部分群編 56

Q.
「#交換子群＝非可換性の強さ」
と捉えると
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達」
の意味は?

A.
#可解群 の交換子群列の末尾は
…⊳D_{n-1}(G)⊳{e}
D_{n-1}(G)の交換子群が{e}なので
D_{n-1}(G)は #アーベル群.
つまり，列の末尾で非可換性が消える.

#群論入門_正規部分群編 55

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
適当な n∈N に対し，
n次 #導来部分群 が {e} となるような #群 は
#可解群 と呼ばれる.

#可解 群(solvable group, soluble group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・導来列(#交換子群列)が #単位群 で終わるような群のこと

#群論入門_正規部分群編 54

Q.
#可解群 とは.

A.
Gの #交換子群列 が
G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ … ⊳ D_n(G)＝{e}
のように
有限回で末尾が #単位群 となる時，
Gを #可解 な群と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 53

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)を
G内の
「#交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」と解釈する場合
#交換子群列
G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳…
の意味は

A.
Gの非可換性の強さがD_1(G).
D_1(G)の非可換性の強さがD_2(G).
D_i(G)の非可換性の強さがD_{i+1}(G). …

#群論入門_正規部分群編 52

https://ja.wikipedia.org/wiki/...
[G, G]
・Gの交換子部分群(#交換子群)
・Gの導来部分群(#導来群)

D(G)=D_1(G)
D_{i+1}(G)=[D_i(G), D_i(G)]
と定める時
D_n(G)をn次の #導来部分群 と呼ぶ.

G⊳D_1(G)⊳D_2(G)⊳…
を導来列(derived series),#交換子群列 と呼ぶ.

#群論入門_正規部分群編 51

Q.
#群 Gの #交換子群列 とは.

A.
Gの #交換子群 をD(G)＝D_1(G),
D_i (G) の交換子群を D_{i+1} (G)
として帰納的に
G ⊳ D_1(G) ⊳ D_2(G) ⊳ …
なる #正規部分群 の列を作る時，
これをGの交換子群列という.

#群論入門_正規部分群編 50

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)
という集合の大きさの意味

A.
Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}.

D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時
Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは
「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」を表す
と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 49

短歌にしてみよう.

　交換子　共役変換　した後も
　そのままずっと　交換子だよ

#交換子 は
もとの #群 Gの元で #共役変換 しても
交換子のまま.

ゆえに，#交換子群 H は
もとの群Gの元による共役変換に対し
#閉じている ので
Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 48

①#群 Gの2つの元a,bの
#交換子
[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab

②群Gの #部分群 A,Bの
#交換子群(#交換子部分群)
[A,B]=‹ [a,b] | a∈A, b∈B ›
⊂ G

③群Gの
交換子群(交換子部分群)，
#導来群(#導来部分群)
D(G)=[ G, G ]
= ‹ [ g_1, g_2 ] | g_1, g_2∈G ›
◅ G