#群論入門_剰余類編 100

英語名称のおさらい・続

#1対1で対応 one-to-one correspondence

#ラグランジュの定理 Lagrange's theorem

群Gにおける部分群Hの #指数
index of a subgroup H in a group G

練習問題:
・左剰余類と右剰余類が「1対1で対応」するのはなぜか，英語で説明せよ。

#群論入門_剰余類編 99

英語名称のおさらい・続

#左合同 left congruence
#右合同 right congruence

#左剰余類 left coset
#左分解 left coset decomposition

#右剰余類 right coset
#右分解 right coset decomposition

#左代表系 left transversal
#右代表系 right transversal

#群論入門_剰余類編 98

英語名称の復習・続

#同値関係 equivalence relation
#同値 である equivalent
#同値律 equivalence law

#同値類 equivalence class

#商集合 quotient set
#商空間 quotient space

#剰余類 residue class
#傍系 coset
#剰余類 に分解する事 coset decomposition

#群論入門_剰余類編 97

英語名称のおさらい・続

#反射律(反射性) reflexivity
無反射性 irreflexivity
反射関係 reflexive relation

#対称律 symmetry
対称関係 symmetric relation

#推移律 transitive law
推移関係 transitive relation

※上記は #同値関係 の3公理ですね

#群論入門_剰余類編 96

英語名称の復習・続

集合の #直和 direct sum
#非交和(合併) disjoint union

#代表元 representative

#完全代表系
complete system of representatives，transversal

#二項関係 binary relation

練習問題:
・集合を類別し完全代表系を作る方法を英語で述べよ.

#群論入門_剰余類編 95

英語名称のおさらい

2つの集合が
#互いに素 mutually disjoint

整数どうしが
互いに素 coprime，relatively prime

#集合族(family of sets) が
互いに素 pairwise disjoint

素集合系 disjoint sets

#類別(分類) classification
集合の #分割 partition of a set

#群論入門_剰余類編 94

「群の発見」(岩波書店2001)

p24より引用:
『集合は単に
ものの集まりに過ぎないが
#群 は #構造 を持っている.

建築材料のどんな一部を採っても
やはり建築材料であるが，
建物のどんな一部を採っても
部屋であるとはいえない.
むしろ部屋など
あまりないのである.』

#群論入門_剰余類編 93

「群の発見」(岩波書店2001)

p24より引用:
『#ラグランジュの定理 は
#群 Gと集合Gの違いを明白に示していて，
#群論 の第1ページに飾られるべき定理である。

#位数 15 の群Gの元 a の位数が
7 になることはない。
1, 3, 5, 15 の4つだけ可能なのである。』

#群論入門_剰余類編 92

Q.
#ラグランジュの定理 で考えると，
集合の「部分集合」と
#群 の「#部分群」には
どんな決定的な差異があるか.

A.
部分集合の要素の数は，
何個でもよい.

しかし
部分群の要素の個数は
もとの群と比べた場合の約数しか許可されない.
(整数論的な縛りが生じる)

#群論入門_剰余類編 91

Q.
#群 Gの #位数 が素数 p であれば
Gは #巡回群 である事を示せ.

A.
|G| ≧ 2より
#単位元 ではない元 g∈G が存在し
前ツイより g の位数は G の位数の約数だから
1かp.
gは単位元ではないので位数pであり
g^p＝eかつ
g^x ∈ G (0≦x≦p-1)
よってG＝‹g›.

#群論入門_剰余類編 90

Q.
#群 Gの任意の元 a に対し
a の #位数 が
G の位数の約数である事を示せ.

A.
元 a∈G が #生成 する #巡回部分群
H ＝ ‹a›
は G の #部分群.

a の位数は #巡回群 H の位数
|H| ＝ |a|.

#ラグランジュの定理 より
|H| は |G|の約数.
∴ |a| は |G|の約数.

#群論入門_剰余類編 89

Q.
#群 G とその任意の元 a に対し
a^|G| を求めよ.

A.
元 a の #位数 は
a が #生成 する #巡回部分群 H＝‹a› の
元の個数であり
H は G の #部分群.
また元 a の位数は
a^m＝e
をみたす最小の自然数mでもあるので，
a^|H|＝e.
両辺を |G:H| 乗すると
a^|G|＝e.

#群論入門_剰余類編 88

Q.
#群 G_1 の #部分群 G_2
G_2の部分群G_3に対し
| G_1 : G_2 |･| G_2 : G_3 | ＝ | G_1 : G_3 |
を示せ.

A.
#ラグランジュの定理 で
部分群の #指数 を分数で書き換えると
| G_1 : G_2 | ＝ |G_1| / |G_2|
| G_2 : G_3 | ＝ |G_2| / |G_3|
より題意の式が従う.

#群論入門_剰余類編 87

Q.
#有限群 において
#部分群 の #指数 が
大きい・小さいとは
どういうことか

A.
|G:H| ＝ |G| / |H|
部分群よりもとの #群 は何倍大きいか.

指数1なら，部分群はもとの群と同サイズ.
指数2なら，部分群はもとの群の半分のサイズ.
指数が大きければ部分群は小さい.

#群論入門_剰余類編 86

Q.
部分群の #指数 を
剰余類や #類別 を持ち出さずに定義してみよ.

A.
#群 G の #部分群 H について，
「H の #位数 を何倍すれば G の位数になるか？」
という
倍数に関する情報が H の指数.

#群論入門_剰余類編 85

Q.
#有限群 G が
#部分群 H をもつ時，
H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは.

A.
#ラグランジュの定理 より
(Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数)
なので，

「Hの位数も
Hの指数も，
Gの位数の約数でなければならない」

という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 84

#部分群 の #指数(index of a subgroup)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

HのGにおける指数:
|G : H| (＝|G|/|H|)
[G : H]
(G:H) などと表記される.

・『Gを埋め尽くすHの「コピー」(#剰余類) の個数』

・NがGの #正規部分群 なら
|G : N|＝#商群(#剰余群)G/Nの #位数

#群論入門_剰余類編 83

#ラグランジュの定理 (#群論)
Lagrange's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
|G| ＝ [G:H] |H|

G における H の #指数:
(index of a subgroup H in a group G)
[G:H]，|G:H| のように表記する.
#左剰余類 の集合 G/H の要素数 |G/H| を指す.

#群論入門_剰余類編 82

Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ

A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 81

Q.
#群論 における #ラグランジュの定理 とは.

A.
#有限群 G が
#部分群 H を持ち
群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時，
群 G の #位数 が
部分群 H の指数および位数を使って
|G| ＝ |G:H| |H|
と表せることをいう.