#群論入門_剰余類編 80

Q.
#有限群 G の元 g と
G の #部分群 H に対し
| H g | ＝ | H | を示せ.

A.
Hの相異なる2元 h_1, h_2 から
Hg の元
s＝h_1 g
t＝h_2 g
を作る.
仮にs＝tとすると
#群 の #簡約法則 より
h_1 g ＝ h_2 g
⇒ h_1＝h_2となり矛盾.
∴Hg内に|H|個の異なる元をとれる.

#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 26

Q.
#群 で常に #簡約法則 が成り立つ事を示せ

A.
群Gの3元a,b,cに対し
aの #逆元 a^{-1} が常に存在.

ab＝acの時，左からa^{-1}をかけ
b＝c
∴左簡約可能

ba＝caの時，右からa^{-1}をかけ
b＝c
∴右簡約可能

左簡約と右簡約が常に可能ゆえ
群では常に簡約法則が成立.

#群論の初歩 25

Q.
#簡約法則(簡約律)とは.

A.
簡約律(cancellation property)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・消去律，消約律とも.
・左可逆元は左簡約可能: ab＝acならばb＝c
・右可逆元は右簡約可能: ba＝caならばb＝c
・すべての #群 で簡約律が成り立つ.

#群論の初歩 1
↑
このタグでは
#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)