＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(河出書房1970グロスマン)

p176より引用:
『#全て の #部分群 が
#正規 であるような
#最小 の #非可換群 は，
#ハミルトン の
#四元数群 と呼ばれる。
また
どんな #真部分群 も
正規でないような
最小の非可換群は，
#位数 60の
#20面体群 である。』

#巡回群とは 48

以前
「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は
#単位群{e}と自分以外に部分群を持たない.
これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った.

前ツイによると
「真部分群を持たない群は
素数★ #位数 の #巡回群 のみ」.
素数つながりである.

#巡回群とは 46

Q.
#群 Gが |G|≧2で
#真部分群 を持たなければ
Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ.

A.
#単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが
題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G.
前ツイより
|G|が合成数nなら
nの約数mにより位数n/mの部分群があるので
|G|は素数.

#群論の知識

Q.
「シロー p-部分群」とは.

A.
#群 G の #部分群 が
下記の条件を満たせば
「シロー p-部分群」
(Sylow p-subgroup).

① p-群である.
(任意の元の #位数 が素数 p のべき)

② G の他のどんな p-部分群 の
#真部分群 でもない.

つまり「G の極大 p-部分群」のこと.

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 86

英語名称のおさらい・続

#加法群 additive group
#乗法群 multiplicative group
#加群 module

#部分群 subgroup
#自明な部分群 trivial subgroup
#真部分群 proper subgroup

#古典群 classical groups
#行列群 matrix group

#群論の初歩 67

Q.
「#真部分群」とは
どんなイメージ？

A.
分かりやすい例えでいうと，
自然数の
「1と自分自身を除く約数」に似ている.

素数pは
1と自分自身pでしか割り切れない.

真部分群をもつ群Gは
合成数のようなもので，
#単位群{e}と自分自身G以外に
(自明でない)部分群を持つ.

#群論の初歩 65

部分群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・部分群と拡大群:
H が G の #部分群 である時，
G は H の #拡大群 である
と表現する場合がある.

・記号の表記法:
H ≤ G
"H is a subgroup of G".

・G の #真部分群 とは
部分群 H が G の
真部分集合(H≠G）であることを指す.

#群論の初歩 64

Q.
#真部分群 とは

A.
#自明な部分群 を除いた #部分群 を
真部分群(proper subgroup)と呼ぶ.

#群 Gの部分群としては
Gそのものと{e}を含むが，
群Gの真部分群には
Gそのものを含まない.

※ {e}は，定義によって
群Gの真部分群に含めない場合も
含める場合もある.

#群論の初歩 1
↑
このタグでは
#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
10

#群論：総ての #真部分群 を包む真部分群を持つ #有限群
https://www.youtube.com/watch?...

#代数 #代数学