＜#物理数学の参考書＞

「球面調和函数と群の表現」(2018野村)

著者サイトより
『#球面調和函数 の
#古典理論 を
#直交群 の #作用 を
前面に押し出しよりモダンに.
背景で働くSL(2,R)という
#群(実際はその #2重被覆群)とのペアを
#表現論 での
#双対ペア(dual pair)の典型例として扱う.』

#群論の初歩 87

英語名称の復習・続

GL
#一般線形群 general linear group

SL
#特殊線形群 special linear group

O
#直交群 orthogonal group

SO
#特殊直交群 special orthogonal group
#回転群 rotation group

U
#ユニタリ群 unitary group

SU
#特殊ユニタリ群 special unitary group

#群論の初歩 82

#行列 の積に関する #群 一覧：

(1) おもに実数成分の場合

▶GL(n) #一般線形群
#正則行列

▶SL(n) #特殊線形群
#行列式=1

▶O(n) #直交群
実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列)
(行列式=±1)

▶SO(n) #特殊直交群(#回転群)
直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 76

#特殊直交群 SO(n) が
#直交群 O(n) の
#部分群 である事の証明は，
下記などを参照のこと.

直交群 / 偶数次元における O(n) と SO(n) の違い
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

SO(n)がO(n)の正規部分群であることの証明
https://detail.chiebukuro.yaho...
.

#群論の初歩 74

直交群
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #直交群 とは
元がn×nの実 #直交行列 で
群の積が行列の積によって与えられるもの.

・直交行列の #行列式 は ±1

・O(n) の重要な #部分群 である
#特殊直交群 SO(n) は
行列式が+1である直交行列からなり
#回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 72

Q.
#代数学 において
O(n) は何を表すか

A.
n 次の #直交群 (Orthogonal group)を表す.
実 #直交行列 の全体である.

O(n) ＝ { A∈GL(n, R) | A A^t ＝E }

なお直交行列とは，
#逆行列 が #転置行列 A^{-1} ＝ A^t
で与えられるような #行列 を指す.