#環論の知識

#クルルの定理 (Krull's theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#零環 でない #環 は
少なくとも1つの #極大イデアル を持つ」.

1929年に #超限帰納法 で証明.

#環論の知識

#単項イデアル環 (Principal ideal ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 R であって，
すべての #右イデアル が
ある x ∈ R に対し
xR の形の #単項イデアル であるようなものを
#単項右イデアル環 または
#主右イデアル環 という.
左についても同様.

#環論の知識

#主イデアル整域 上の有限生成加群の構造定理
(Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#有限生成加群 は
整数の素因数分解とほぼ同じように
一意的に分解する」.

行列の #標準形 の理解に役立つ.

#環論の知識

#主イデアル整域
(principal ideal domain, PID)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・単項イデアル整域とも.
・任意の #イデアル が #単項イデアル であるような #整域 のこと.

#環論の知識

Monomial ideal (#単項式イデアル)
https://en.wikipedia.org/wiki/...

an ideal generated by monomials
#単項式 のみにより #生成 された #イデアル.

#グレブナー基底 について論じる際などに
必要になる概念.

#単項イデアル(#主イデアル,principal ideal)
とは異なるので注意.

#環論の知識

#極大イデアル (maximal ideal)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 R において
R以外の #左イデアル で
集合の包含関係に関し極大なものが
Rの #極大左イデアル.

別の言い方では
左イデアル I を真に含む左イデアルが
Rしかない時
I はRの極大左イデアル.

右に関しても同じ.

#環論の知識

#主イデアル (principal ideal)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 R のある単一の元により #生成 された
R の #イデアル のこと.
単元生成されたイデアル.

#単項イデアル とも呼ばれるが，
#単項式イデアル とは別物なので注意.

#環論の知識

#標数 (characteristic)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#環 や #体 の特徴を表す0以上の整数.

環Rの乗法の #単位元 1を
n回の加法演算で足し合わせた結果が
0(加法の単位元すなわち環の #零元)に等しい時
nの最小値をRの標数という.

何回足し合わせても0にならない場合
標数は0.

#環論の知識

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

①#昇鎖条件
(ascending chain condition, ACC)
半順序集合で，真の上昇列が有限回で止まる.

②#降鎖条件
(descending chain condition, DCC)
半順序集合で，真の下降列が有限回で止まる.

どちらも
#代数的構造 が満たす有限性に関する性質.

#代数学のbot連ツイのタグ その2

▶環論
①#環論の初歩
②#環論の知識
③#加群の知識
④#GröbnerBasis

▶体論その他，抽象代数学全般
#体論の初歩(※建設中)
#代数学の知識
#代数学の参考書

▶線形代数
#たった10ツイートでわかる線形代数