#デジタル信号とサンプリング 18

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
(Ω=2π/τ)
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.
↑
ここから
「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」
という操作が可能であるためには
横幅Ωの範囲内に
F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 13

#デジタル信号
y_d＝f(t)･Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ)
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
(1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ
=
(1/τ){ F(jω) * δ_Ω (ω) }
↑
これは
ω軸上でF(jω)の #波形 が
間隔Ωごとに無限に繰り返し並ぶ
ということ.

#デジタル信号とサンプリング 9

記号の補足:
#サンプリング周期 を
Tではなく
τ(タウ)で表記する事があるのはなぜ？

#信号処理 でTと書いた場合
#周期信号 の #周期 を表すことが多い.

混同・誤解を避けるため
①関数の #波形 の周期はT
②サンプリング周期はτ
で表し区別.

#デジタル信号とサンプリング 4

#時間軸 が
#アナログ か #デジタル かの違い

▶#アナログ信号:
t軸上の
どの時刻tにおいても
#波形 が値を持つ.

▶#デジタル信号:
t軸上で
#サンプリング の間隔τごとに値を持つ.

等間隔でとげが並んだ
くしのような形.
とげの無い部分の値は0.

#デジタル信号とサンプリング 2

数学的に「#デジタル信号」とは？

y ＝ f(t) という普通の関数がある時
それに
#デルタ関数 列(#インパルス列)をかけると…

y_d ＝ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

時間間隔 τ ごとに値を持つ
時間的にとびとびの #波形.
↑
これがデジタル信号！

#フーリエ変換の性質や諸公式 46

ℱ[ f( at ) ]
=
(1/|a|) F(ω/a)

a＞1とし
#時間領域 でtのかわりにatを引数に取ると
#時間軸 上で #波形 の横幅は1/a倍に #圧縮 される.

これは #周波数領域 では
#低周波 が減り
#高周波 が増える事に相当し
ω軸上では波形の横幅がa倍に広がる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 45

「#縮尺 を変更した関数の
#フーリエ変換」の性質

ℱ[ f( at ) ]
=
(1 / |a|)・F(ω/a)

↑
#時間軸 上で
#波形 の横幅を 1/a 倍に #圧縮 すると，
ω軸上では
波形の横幅が a 倍に広がる.

なぜそのように縮尺が連動するか
定性的に答えられますか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 43

「#時間シフト の #フーリエ変換」の性質:

ℱ[ f( t－t_0 ) ]
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)
↑
#時間領域 で
#波形 の立ち上がりが t_0 だけ遅れると，
#周波数領域 でも
#位相 が t_0 だけ遅れる。

#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 44

「#複素フーリエ級数展開 で
T→∞の #極限 をとれば
#フーリエ変換 を導出できる」
↑
Tは信号の #周期 だから，
Tが無限大という事は
いつまでたっても信号の #波形 に
「繰り返しが現れない」という事.

つまり，#周期信号 ではない
一般の波形を扱える！

#アナログ信号の解析法 2

①#有限長 信号
②#無限長 信号

①⇔②の相互入れ替え:

・有限長信号の #波形 は
「その波形が #周期的 に無限に繰り返される」
と考えれば
無限長信号にできる.

・無限長信号の波形は
周期性を見出す事ができれば
その周期部分に関する有限長信号として扱える.

#アナログ信号の解析法 1
↑
このタグでは下記の項目を学びます.

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

#デジタル信号の周波数解析 98

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)の場合:
f(t)の #波形 が
「#数式 として得られていなくても」
利用可能だが，かわりに
t軸上で無限個のサンプル値が必要(無理).
さらに
ω軸上で無限区間の #積分 が必要(実用不可).

一方
#DFT なら有限個の数値だけで済む.

#デジタル信号の周波数解析 97

#DFT が「#数値 だけで済む」ことのメリット:
他の変換と比較

(複素)#フーリエ級数展開
#フーリエ変換
↑
この2つは
#時間領域 で関数f(t)の #波形 が
「数式として(#解析的 に)」得られていないと
#周波数領域 へ #変換 できない.
数値だけで処理不可.

#デジタル信号の周波数解析 62

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ] ①
=
(Nτ/2π) y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ②

②は
y_{d,N}(t)がt軸上でNτごとに
同じ #波形 を繰り返す #周期信号 の
Nτ/2π倍なので，

「もとの #デジタル信号 を復元する」
という操作を作るには
①のℱ^{-1}の所で2π/Nτ倍すればよい！

#デジタル信号の周波数解析 61

ℱ^{-1}で
F_d(ω)からy_{d,N}(t)を復元可能か？

ℱ^{-1}[ F_d(ω) ]
=
(Nτ/2π) y_{d,N}(t) * δ_{Nτ}(t) ①

t軸上の #デジタル信号 y_{d,N}(t)は
#有限長(0≦t＜Nτ).

①は
y_{d,N}(t) がt軸上でNτごとに
同じ #波形 を繰り返す #周期信号(のNτ/2π倍).

#デジタル信号の周波数解析 58

t軸上の時間 #波形 の長さは
もともと幅Nτに制限されている前提で，
幅Nτを超えた部分の波形は
最初から問題にしていない.

なので
t軸上の時間波形の繰り返し #周期 の幅Mτが
Nτを超えて長くなっても
その差Mτ－Nτは無駄になる.
よって
MをM=Nととるべき.

#デジタル信号の周波数解析 57

ω軸上の
#サンプリング 点の個数Mを増やすほど，
t軸上の時間 #波形 の
繰り返し #周期 の
幅Mτは長くなる.

しかし…
その幅Mτがあまり大きくなっても
メリットはない！

なぜなら
t軸上での時間波形の長さは
もともと幅Nτに制限されている前提だから.

#デジタル信号の周波数解析 56

前ツイより

ω軸上でM点で #サンプリング した
#デジタル信号 F_d(ω)の #波形 から

t軸上でN点で
#サンプリング周期 τでサンプリングした
デジタル信号y_{d,N}(t)の波形を
破損なく復元できるためには，

Nτ≦Mτ
∴
N≦Mならばよい！

通常，N=Mとおく.