#シュレディンガー方程式の導出 28

ここまでで
古典論の #波動方程式 から
時間非依存の
#シュレディンガー方程式 を導出し
#運動量演算子
p=±iℏ(d/dx)
を得た.

参考文献:
例えば東京化学同人
「量子化学・基本の考え方16章」6章
§6.3 電子の波動方程式
～
§6.5 ハミルトン演算子 を参照.

#シュレディンガー方程式の導出 26

#電子 のみたす #波動方程式
－(ℏ^2 / 2m)X_xx ＋ U X = E X
↓
{－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X ＝ E X

これを，1次元の
「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」
と呼ぶ。

左辺の { } 内は
右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。

#シュレディンガー方程式の導出 25

#ディラック定数(#換算プランク定数)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
ℏ＝h/2π を定義すると…

#電子 のみたす #波動方程式 は
X_xx＝－4π^2 (2m/h^2)(E－U) X
↓
X_xx＝－(2m/ℏ^2)(E－U) X
↓
－(ℏ^2 / 2m)X_xx = (E－U) X
↓
－(ℏ^2 / 2m)X_xx＋UX = E X

#シュレディンガー方程式の導出 24

1次元で運動する #電子 に
#波長 λを仮定すると
E＝p^2 / 2m + Uかつ
p＝h/λ より
E＝h^2 / 2mλ^2 + U
∴
1/λ^2＝(2m/h^2)(E－U)なる
λとEの関係式を得て
これを時間非依存の
#波動方程式 に代入すると
X_xx
=－4π^2 (1/λ^2) X
=－4π^2 (2m/h^2)(E－U) X

#シュレディンガー方程式の導出 23

#古典力学 の #波動方程式(時間依存)
u_xx=(1/v^2)u_tt
に正弦波解
u(x,t)=X(x) A cosωt
を代入し
X_xx=－(ω^2 / v^2) X ★
なる時間非依存の式を得る.

波の変数の基本関係式より
ω=2πf
v=fλ
∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2

よって★は
X_xx=－(4π^2 / λ^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 22

#古典力学 の #波動方程式
u_xx=(1/v^2)u_tt
v:波の速度

u(x,t)=X(x)T(t)=X(x)Acosωt
なる #変数分離形 の
#正弦波解 を仮定・代入すると
u_xx=X_xx A cosωt
u_tt=－(ω^2) X A cosωt
∴
X_xx A cosωt=－(1/v^2)(ω^2) X A cosωt
→
X_xx=－(ω^2 / v^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 11

前ツイまでで
古典論の #波動方程式
u_xx ＝ (1/c^2) u_tt
の導出方法や，
偏微分方程式としてのタイプも確認できた。

この古典論の波動方程式をもとに
#量子化学 の主役である
量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 10

1次元の #波動方程式 を変形すると
振幅u(x,t)に対し
u_tt / u_xx ＝ c^2　★

★式の両辺を
それぞれ #次元解析 すると
どちらの辺も [m^2 / s^2] となる。

この事から★式を間違いなく記憶でき，
波動方程式の u_tt と u_xx の項を
混同しなくて済む。

#シュレディンガー方程式の導出 9

古典論の #波動方程式 は…

▶1次元では
u_xx ＝ (1/c^2) u_tt

cは #位相速度[m/s]。

▶3次元では
∆u (＝u_xx＋u_yy＋u_zz) ＝ (1 / c^2) u_tt

∆は #ラプラシアン。

#シュレディンガー方程式の導出 8

▶#双曲型
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
u_xx＝k u_tt なる #波動方程式 がある

▶#放物型
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
u_xx＝k u_t なる #熱伝導方程式 がある

▶#楕円型
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
u_xx＝f(x)なる #ポアソン方程式 や #ラプラス方程式 がある

#シュレディンガー方程式の導出 7

古典論の #波動方程式 は，
以下の3パターンに分類された
#偏微分方程式 のうちの
双曲型というカテゴリーに属する。

･#双曲型 ←ｺﾚ!
･#放物型
･#楕円型

この3種類の偏微分方程式の
数理的性質と，
おのおのが表す物理的現象とは
覚えておきたい。

#シュレディンガー方程式の導出 6

参考文献:
量子論的な波動方程式
(#シュレディンガー方程式)
を学ぶための前段階として，
まず先に
古典論の #波動方程式 を
導出させる #量子化学 の教科書としては
たとえば東京化学同人
「量子化学　基本の考え方16章」
の6章などが挙げられる。

#シュレディンガー方程式の導出 4

現代化学･#量子化学
および #前期量子論 は，
#シュレーディンガー の #波動方程式 に
立脚している。

しかしまず先に，
古典論の力学における波動方程式
∂^2 u / ∂x^2 ＝ (1 / v^2) (∂^2 u / ∂^2 t)
を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 3

#量子化学 の典型的カリキュラム:

･講義1回目で #前期量子論 をやり
･#古典力学 の #波動方程式 を見せ
･そこからの類推で，水素原子の
#シュレディンガー方程式 を導出。

この流れを
「#シュレディンガー方程式の導出」
のタグで紹介してゆきます。

#ルベーグ積分と関数解析の参考書

「シュレーディンガー方程式Ⅰ」(朝倉書店2014)

前書きより:
『#Schrödinger方程式 の解は
#波動方程式 と違い
波の #伝搬速度 が #無限大 で
解が初期条件の
無限遠方までの性質に依存する.
また #熱方程式 と違い
解の #不連続性 が
突然現れたりする.』

波動伝播に対する量子アルゴリズムが共鳴多様体上に直接状態を準備することでポリログ複雑性を達成し、指数関数的なポスト選択オーバーヘッドを排除し、km規模領域のシミュレーションを可能にする。

#量子アルゴリズム #波動方程式 #研究