#シュレディンガー方程式の導出 41

3次元の #シュレディンガー方程式
{－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X
に，
#水素原子 の #原子核 が生む
#ポテンシャル
U(r) = －e^2 / 4πε_0 r
を代入すると…

{
－(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ]
－e^2 / 4πε_0 r
} X
＝
E X

#シュレディンガー方程式の導出 40

3次元の #シュレディンガー方程式 を
#水素原子 の #電子 に適用する.

水素原子の
#原子核 から電子までの距離をr
#電荷素量 をeとおくと…
電子が受ける #クーロン力 は
F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2
なる #引力.

#ポテンシャル は
U(r) = －e^2 / 4πε_0 r

#シュレディンガー方程式の導出 35

▶#電子 の運動に関する
時間非依存の #シュレディンガー方程式:
{－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x)

▶#運動量 演算子:
p = ±i ℏ (d/dx)

ここからは，上記の式を
#水素原子 の電子に当てはめ
具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。