#解析力学_Hamilton形式編 24

Q.
①#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

②#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

↑
この2つは同じことを言っているの?

A.
どちらも
#最小作用の原理 δS=0
と同じ意味.
#作用 Sの変数として
①Lと
②Hのどちらで書くかの差.

#解析力学_Hamilton形式編 22

#ハミルトン形式 を整理:

#正準運動量 p＝∂L/∂q̇と
#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p－L(q,q̇)
を定義すると，
#作用 S=∫{t1→t2}Ldt および
#最小作用の原理 δS=0の式は
Lの代わりに
Hの式となり，
#ハミルトンの正準方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
が導出される.

#解析力学_Hamilton形式編 13

Q.
#最小作用の原理 から
#ハミルトンの正準方程式 を導出

A.
計算は下記URL参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#作用積分 Sは
#ラグランジアン Lの時間積分.

Lと #ハミルトニアン Hに
#ルジャンドル変換 による変換関係があるので
SをHで表せて
Sの停留点を求める.

#解析力学_Lagrange形式編 118

整理:

物理的安定性を要請すると
「#ラグランジアン は
q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき，
L=L(q,q̇)とおけて
#最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると，
#オイラー・ラグランジュ方程式 や
#ニュートンの運動方程式 は
2階の微分方程式になる.

#解析力学_Lagrange形式編 101

Lがqのn階微分まで含み
L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n))
である時
#最小作用の原理
δS＝δ∫Ldt＝0
にLを代入し
#変分法 で計算すると
「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」
として
Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0
を得る.

#解析力学_保存量と対称性編 8

Q.
#解析力学 では
#対称性 があれば
#運動方程式 は変化しない.
なぜそう言えるか

A.
#最小作用の原理 より
系の運動方程式は
#作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される.

#対称性 を持つ変換は
作用Sを不変に保ち
作用の変分δSも0のままで
運動方程式は不変.