#デジタル信号とサンプリング 4

#時間軸 が
#アナログ か #デジタル かの違い

▶#アナログ信号:
t軸上の
どの時刻tにおいても
#波形 が値を持つ.

▶#デジタル信号:
t軸上で
#サンプリング の間隔τごとに値を持つ.

等間隔でとげが並んだ
くしのような形.
とげの無い部分の値は0.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 10

#時間軸 上の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#周波数軸 上では #定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ]＝1
↑
右辺は，ω軸上で常に
1という値を取り続ける定数関数.

#ディラック の #δ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
∫{－∞→∞} δ(t) f(t) dt
=f(0)=定数

#フーリエ変換の性質や諸公式 46

ℱ[ f( at ) ]
=
(1/|a|) F(ω/a)

a＞1とし
#時間領域 でtのかわりにatを引数に取ると
#時間軸 上で #波形 の横幅は1/a倍に #圧縮 される.

これは #周波数領域 では
#低周波 が減り
#高周波 が増える事に相当し
ω軸上では波形の横幅がa倍に広がる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 45

「#縮尺 を変更した関数の
#フーリエ変換」の性質

ℱ[ f( at ) ]
=
(1 / |a|)・F(ω/a)

↑
#時間軸 上で
#波形 の横幅を 1/a 倍に #圧縮 すると，
ω軸上では
波形の横幅が a 倍に広がる.

なぜそのように縮尺が連動するか
定性的に答えられますか？

#デジタル信号の周波数解析 83

#離散フーリエ変換:
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j2πk･n/N)

#周波数軸 上の1つの #デジタル信号 値
F[k] (0≦k≦N-1)は
#時間軸 上のN個のデジタル信号値
f[0], f[1], …, f[ N-1 ]
を展開係数とした
(逆回りの)#複素正弦波 の有限和で求められる.

#デジタル信号の周波数解析 80

#離散フーリエ逆変換:
f[n]
=
(1/N)Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N)

#時間軸 上での1つの #デジタル信号 値
f[n] (0≦n≦N-1) は
#周波数軸 上でのN個のデジタル信号値
F[0], F[1], …, F[ N-1 ]
を展開係数とした
#複素正弦波 の有限和に展開できる.

#デジタル信号の周波数解析 71

▶#時間軸 上で
アナログ時間波形 f(t) を
N点で #サンプリング するには:

→周期τの #デルタ列 をかけるだけ.

▶#周波数軸 上で
周波数スペクトルのアナログ波形 F(ω) を
N点でサンプリングするには:

→デルタ列をかけたあとで
定数(2π/Nτ)倍すればOK.

＜#素粒子と原子核の参考書＞

パリティ物理学コース
「高エネルギー物理学実験」(丸善出版1997真木)

p13より:
『#CPT反転 とは
全ての #粒子 の
#電荷 を #反転 させ(#C反転)，
同時に
#空間座標 の反転(#P反転)と
#時間軸 の反転(#T反転)を行なっても
#物理法則 は変わらないというもの』

#デジタル信号とサンプリング 36

#サンプリング 値つまり
#時間軸 上での #離散的 な値の #数列
y(kτ) (kは整数)を使い，
任意の時刻における原信号
y(t)を復元すると

y(t)
=
Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0(t－kτ))

ω_0=π/τ
ω_0･τ=πなので

=
Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t－kπ )

#デジタル信号とサンプリング 4

#時間軸 が
#アナログ か #デジタル かの違い

▶#アナログ信号:
t軸上の
どの時刻tにおいても
#波形 が値を持つ.

▶#デジタル信号:
t軸上で
#サンプリング の間隔τごとに値を持つ.

等間隔でとげが並んだ
くしのような形.
とげの無い部分の値は0.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 10

#時間軸 上の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#周波数軸 上では #定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ]＝1
↑
右辺は，ω軸上で常に
1という値を取り続ける定数関数.

#ディラック の #δ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
∫{－∞→∞} δ(t) f(t) dt
=f(0)=定数

#フーリエ変換の性質や諸公式 46

ℱ[ f( at ) ]
=
(1/|a|) F(ω/a)

a＞1とし
#時間領域 でtのかわりにatを引数に取ると
#時間軸 上で #波形 の横幅は1/a倍に #圧縮 される.

これは #周波数領域 では
#低周波 が減り
#高周波 が増える事に相当し
ω軸上では波形の横幅がa倍に広がる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 45

「#縮尺 を変更した関数の
#フーリエ変換」の性質

ℱ[ f( at ) ]
=
(1 / |a|)・F(ω/a)

↑
#時間軸 上で
#波形 の横幅を 1/a 倍に #圧縮 すると，
ω軸上では
波形の横幅が a 倍に広がる.

なぜそのように縮尺が連動するか
定性的に答えられますか？

＜#素粒子と原子核の参考書＞

パリティ物理学コース
「高エネルギー物理学実験」(丸善出版1997真木)

p13より:
『#CPT反転 とは
全ての #粒子 の
#電荷 を #反転 させ(#C反転)，
同時に
#空間座標 の反転(#P反転)と
#時間軸 の反転(#T反転)を行なっても
#物理法則 は変わらないというもの』