#フーリエ変換の具体的な計算 12

#フーリエ変換 を重ねがけすると
もとの関数の #時間反転 になる
ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ]
=
2π f(－t)
↑
この公式を使うと
ℱ_t [ δ(t) ] = 1(ω) から
ℱ_t [ 1(t) ] = 2π δ(ω)
を導出できる.

#デルタ関数 と #定数関数 は
フーリエ変換の対(ペア)をなす.

#フーリエ変換の性質や諸公式 10

▶#フーリエ変換 後に
#逆フーリエ変換 すると
もとに戻る。
(ℱ_ω)^{-1} [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
f(t)

▶フーリエ変換後に
またフーリエ変換(重ねがけ)すると
もとには戻らず
#時間反転 する。
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

面白い性質ですね！

#フーリエ変換の性質や諸公式 9

ℱ_t
t軸上の #積分 による #フーリエ変換

ℱ_ω
ω軸上の積分によるフーリエ変換

と書く事にすると，前ツイより
2π f(－t)
=
ℱ_ω [ F(ω) ]

∴
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

∴2回フーリエ変換すると
元の関数の #時間反転 の2π倍になる.

#フーリエ変換の具体的な計算 12

#フーリエ変換 を重ねがけすると
もとの関数の #時間反転 になる
ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ]
=
2π f(－t)
↑
この公式を使うと
ℱ_t [ δ(t) ] = 1(ω) から
ℱ_t [ 1(t) ] = 2π δ(ω)
を導出できる.

#デルタ関数 と #定数関数 は
フーリエ変換の対(ペア)をなす.

#フーリエ変換の性質や諸公式 10

▶#フーリエ変換 後に
#逆フーリエ変換 すると
もとに戻る。
(ℱ_ω)^{-1} [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
f(t)

▶フーリエ変換後に
またフーリエ変換(重ねがけ)すると
もとには戻らず
#時間反転 する。
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

面白い性質ですね！

#フーリエ変換の性質や諸公式 9

ℱ_t
t軸上の #積分 による #フーリエ変換

ℱ_ω
ω軸上の積分によるフーリエ変換

と書く事にすると，前ツイより
2π f(－t)
=
ℱ_ω [ F(ω) ]

∴
ℱ_ω [ ℱ_t [ f(t) ] ]
=
2π f(－t)

∴2回フーリエ変換すると
元の関数の #時間反転 の2π倍になる.