#フーリエ変換の具体的な計算 16

#時間シフト した #δ関数 の #フーリエ変換
証明(2通り)

①
ℱ[δ(t-t_0)]
=∫{-∞→∞}δ(t-t_0)e^(-jωt)dt
=e^(-jωt_0)

②
時間シフトした関数のフーリエ変換の公式
ℱ[f(t-t_0)]=ℱ[ f(t) ] e^(-jωt_0)
ℱ[δ(t)]=1
∴
ℱ[δ(t-t_0)]=1･e^(-jωt_0) //

#フーリエ変換の具体的な計算 15

#複素正弦波 を #フーリエ変換 すると
どうなるだろうか？

そのためにまず先に
「#時間シフト した #デルタ関数」
δ(t－t_0)
のフーリエ変換を求めてみよう。

この結果は
ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
となる。

#フーリエ変換の性質や諸公式 50
↑
このタグの復習…

･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

OKでしょうか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 49

まとめ②

#微積分
ℱ[ (d/dt) f(t) ] ＝ jω F(ω)
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ] ＝ { (jω)^n } F(ω)
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ] ＝ (1 / jω) F(ω)

#時間シフト
ℱ[ f( t－t_0 ) ] ＝ e^(－jω t_0) F(ω)

#縮尺 変更
ℱ[ f( at ) ] ＝ (1 / |a|) F(ω/a)

#フーリエ変換の性質や諸公式 44

#時間シフト
ℱ[ f(t－t_0) ]
=
∫{-∞→∞} f(t－t_0) e^(－jωt) dt
=
∫{-∞→∞} f(t－t_0) e^(－jω{t－t_0})･e^(－jω t_0) dt
ここで t－t_0 を t とおきなおせば
=
∫{-∞→∞} f(t) e^(－jωt)･e^(－jω t_0) dt
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)

#フーリエ変換の性質や諸公式 43

「#時間シフト の #フーリエ変換」の性質:

ℱ[ f( t－t_0 ) ]
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)
↑
#時間領域 で
#波形 の立ち上がりが t_0 だけ遅れると，
#周波数領域 でも
#位相 が t_0 だけ遅れる。

#フーリエ変換の性質や諸公式 1
↑
このタグでは下記の事項を学びます。

･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

#フーリエ変換の具体的な計算 16

#時間シフト した #δ関数 の #フーリエ変換
証明(2通り)

①
ℱ[δ(t-t_0)]
=∫{-∞→∞}δ(t-t_0)e^(-jωt)dt
=e^(-jωt_0)

②
時間シフトした関数のフーリエ変換の公式
ℱ[f(t-t_0)]=ℱ[ f(t) ] e^(-jωt_0)
ℱ[δ(t)]=1
∴
ℱ[δ(t-t_0)]=1･e^(-jωt_0) //

#フーリエ変換の具体的な計算 15

#複素正弦波 を #フーリエ変換 すると
どうなるだろうか？

そのためにまず先に
「#時間シフト した #デルタ関数」
δ(t－t_0)
のフーリエ変換を求めてみよう。

この結果は
ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
となる。

#フーリエ変換の性質や諸公式 50
↑
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･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

OKでしょうか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 49

まとめ②

#微積分
ℱ[ (d/dt) f(t) ] ＝ jω F(ω)
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ] ＝ { (jω)^n } F(ω)
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ] ＝ (1 / jω) F(ω)

#時間シフト
ℱ[ f( t－t_0 ) ] ＝ e^(－jω t_0) F(ω)

#縮尺 変更
ℱ[ f( at ) ] ＝ (1 / |a|) F(ω/a)

#フーリエ変換の性質や諸公式 44

#時間シフト
ℱ[ f(t－t_0) ]
=
∫{-∞→∞} f(t－t_0) e^(－jωt) dt
=
∫{-∞→∞} f(t－t_0) e^(－jω{t－t_0})･e^(－jω t_0) dt
ここで t－t_0 を t とおきなおせば
=
∫{-∞→∞} f(t) e^(－jωt)･e^(－jω t_0) dt
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)

#フーリエ変換の性質や諸公式 43

「#時間シフト の #フーリエ変換」の性質:

ℱ[ f( t－t_0 ) ]
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)
↑
#時間領域 で
#波形 の立ち上がりが t_0 だけ遅れると，
#周波数領域 でも
#位相 が t_0 だけ遅れる。

#フーリエ変換の性質や諸公式 1
↑
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･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換