#群論入門_剰余類編 50

Q.
左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#推移律 を満たす事を示せ

A.
#群 Gの3元a,b,cに対し
x=ab^{-1}∈H
y=bc^{-1}∈H
の時
#二項演算 が群H内で #閉じている ので
xy=(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}∈H
∴
a≡b(mod H), b≡c(mod H)なら
a≡c(mod H)

#群論入門_剰余類編 25

Q.
#同値律 とは.

A.
#同値関係 の定義に現れる
3つの関係式のこと.

#反射律，
#対称律，
#推移律(移動律)
をまとめていう.

英語では
reflexive,
symmetric,
transitive
の3セット.

#群論入門_剰余類編 24

Q.
#二項関係「≠」を
「実数として値が異なる」
という意味で用いる場合
#同値関係 の定義式の
#推移律 を満たすか?

A.
実数a,b,cに対し
a≠b かつ
b≠c の時
a≠cとは限らない.
よって推移律は成り立たない.

「a≠b≠c」と書いた時に
「a≠c」とは言えない.

#群論入門_剰余類編 21

Q.
#同値関係 の定義
記憶しづらい.

A.
#二項関係 の対象(＝登場人物)
となる元の個数が各々
1個，2個，3個である事に注目するとよい.

(1) #反射律
a～a
元はaの1個

(2) #対称律
a～b⇒b～a
元はa,bの2個

(3) #推移律
a～b, b～c⇒a～c
元はa,b,cの3個

#群論入門_剰余類編 20

Q.
#同値関係 の(3)「#推移律」
どういう意味か

A.
推移関係 (transitive relation)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

集合のある3元 a, b, c と
ある #二項関係 R について，
a と b に R が成り立ち
b と c に R が成り立つ時
a と c にも R が成り立つということ.

#群論入門_剰余類編 16

Q.
数学における
#同値関係 とは.

A.
下記の3つの条件を満たす
関係性(#二項関係)「～」のことを
同値関係と呼ぶ.

(1) #反射律
a～a

(2) #対称律
a～b ⇒ b～a

(3) #推移律
a～b, b～c ⇒ a～c

#群論入門_正規部分群編 25

▶#部分群 について

A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 の時
A_1 ⊃ A_3 である.

つまり，⊃ という #二項関係 は
#推移律 を満たす.(#推移的)

▶#正規部分群 について

A_1 ⊳ A_2 ⊳ A_3 の時
A_1 ⊳ A_3 とは限らない！

つまり，⊳ という二項関係は
推移律を満たさない.