#微分方程式の基礎 7

Q.
#積分因子 とは

A.
積分因子(integrating factor)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
かける事で #不完全微分 から #完全微分 を得るもの.

完全微分(exact differential, perfect differential)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
ある式が適当な可微分函数Qの微分dQとなること

#微分方程式の基礎 6

Q.
「同次」かつ「斉次」であるような
微分方程式の例

A.
dy/dx＋( 1/x ) y＝0

これは
dy/dx＝f( y/x ) の形をしているから
#同次 形の微分方程式であり
#変数分離 で解ける.

また
この線形微分方程式は右辺が0で
全ての項に未知関数が含まれるから
#斉次 である.

#微分方程式の基礎 5

Q.
"同次"と"斉次"の違い

A.
両方homogeneous(均質な)の訳語

#同次 形
dy/dx=f(y/x)
分母分子でxとyの次数が同じ(均質)

#斉次 形
dy/dx+P(x)y=0
全項に未知函数を1つずつ含むという意味で均質

#非斉次 形
dy/dx+P(x)y=Q(x)
未知函数を含まない項があり非均質

#微分方程式の基礎 4

1階・常微分方程式のパターン

「1階線形･#非斉次」
(First-order, linear, inhomogeneous)

▶形式:
dy/dx＋P(x) y＝Q(x)

▶解き方:
2通りある。
(1) 両辺に #積分因子 をかける
(2) #定数変化法

▶参考
線形微分作用素L＝d/dx＋P(x)で
L y＝Q(x)
と書ける。

#微分方程式の基礎 3

1階･常微分方程式のパターン

「1階線形 #斉次」
(First-order, linear, homogeneous)

▶形式
dy/dx＋P(x) y＝0

▶解き方
#変数分離

▶参考
yと, yの全ての導関数とについて高々1次であれば
線形微分方程式と呼ぶ.
線形微分作用素L=d/dx+P(x)で
L y=0
と書ける.

#微分方程式の基礎 2

1階・常微分方程式のパターン

「#同次 形」(First-order, homogeneous)

▶形式：
dy / dx＝f( y / x )

▶解き方：
y/x＝z とおくと
→y＝zx
→dy/dx＝d(zx)/dx＝f(z)
xとzの #変数分離 形となる。

#微分方程式の基礎 1

1階・常微分方程式のパターン

「#変数分離 形」(separation of variables)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

▶形式：
dy / dx＝f(x) g(y)

▶解き方：
両辺に変数を分離・整理し
dy / g(y)＝f(x) dx
この両辺を積分すればよい。
積分定数 ＋C を忘れずに。