#群論入門_剰余類編 74

Q.
群Gの部分群Hによる左分解での
#左剰余類 Hyから作られる
#右剰余類 y^{-1}Hたちが
共通元を持ちうるか?

A.
左剰余類Hs,Ht
から作った右剰余類
s^{-1}H∩t^{-1}H
＝s^{-1}h_1
＝t^{-1}h_2
(h_1, h_2∈H)
ならば
t＝h_2 (h_1)^{-1}s∈Hs
∴tとsは #左合同 でHs＝Ht

#群論入門_剰余類編 58

Q.
#右剰余類 の概念に基づき
#右合同 を定義せよ.

A.
#左剰余類 および #左合同 の場合と同じく，
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し
a ∈ bH
(b^{-1}a ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」
と言い
#同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 55

Q
#群 Gの2元a,bと
#部分群 Hに対し
#左合同 と #右合同 を言い直すと

A
同じ #左剰余類 に属すれば左合同.
a∈Hb
(ab^{-1}∈H)なら
aもbも
Hbという左剰余類に属する.

同じ #右剰余類 に属すれば右合同.
a∈bH
(b^{-1}a∈H)なら
aもbも
bHという右剰余類に属する.

#群論入門_剰余類編 54

Q.
#右剰余類 の概念に基づき
#右合同 を定義せよ.

A.
#左剰余類 および #左合同 の場合と同じく，
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し
a ∈ bH
(b^{-1}a ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」
と言い
#同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 53

Q.
「#左合同 は #同値関係 である」
ということはつまり…

(1)
1個の #左剰余類 は…

(2)
左剰余類をぜんぶ集めると…

A.
(1)
左剰余類は，#同値類
(＝#類別 における1つの #類)
なのである.

(2)
同値類をぜんぶ集めると
集合全体の #同値分割 になる.

#群論入門_剰余類編 52

Q.
#群 に
#左剰余類 という概念を定義し
#左合同 が #同値関係 であることを示すと
一体なにが嬉しいのか?

A.
既に証明した通り，
「集合内に
#同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合，
その関係を使って
集合の #類別(#分割)を与えることができる」
から.

#群論入門_剰余類編 51

Q.
#同値関係 として
#左合同 の定義を言い直してみよ

A.
#群 Gの2元a, bと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hbに対し
a ∈ Hb
(ab^{-1} ∈ H) の時
「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #左合同」
と言い
a≡b (mod H) と表記し
この「≡」は #同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 48

Q.
Gの #部分群 Hに対し
ab^{-1} ∈ H
の時
「aとbはHを法として #左合同」.

左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#反射律 を満たす事を示せ.

A.
Hは群なので #単位元 を持ち
aa^{-1}＝e ∈ H
より
任意のGの元aは
a自身と左合同.
a≡a (mod H)

#群論入門_剰余類編 47

Q.
#群 Gの2元x, gと
Gの #部分群 Hによる #左剰余類 Hgに対し
x ∈ Hg の時
xとgの間に
xg^{-1} ∈ H　①
gx^{-1} ∈ H　②
が成り立つ.

①②をまとめて
どう言い表せるか

A.
「群Gの2元x, gが
部分群Hを法として
#左合同 である」と言い
x≡g (mod H)
と表記する.

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理