#群論入門_剰余類編 82

Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ

A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 79

Q.
部分群の #指数 とは.

A.
#有限群 G の #部分群 H による…
・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数
・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数
は互いに等しく，
その数を
群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ.

|G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 78

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hによる
#左分解 と #右分解 の間になりたつ関係を
整理すると.

A.
左分解が
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …　①
ならば
右分解は
G ＝ (a_1)^{-1} H ＋ (a_2)^{-1} H ＋ …　②
で与えられ，
①と②の #類別 の項数(#類 の個数)は等しい.

#群論入門_剰余類編 77

Q.
#有限群 Gの #部分群 Hがある時
GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数
＝
GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数
を示せ.

A.
ある左剰余類Hxがある時
Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを
ただ1つ作ることができ
逆も真.
よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

#群論入門_剰余類編 73

#群 Gの元x,yと
Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時
xが属する #左剰余類 をHyとすれば
x^{-1}が属する #右剰余類 はy^{-1}Hである.

このように
左剰余類Hyをもとに
右剰余類y^{-1} Hを次々につくる時，
つくられた右剰余類の集合は
Gの #右分解 になるだろうか?

#群論入門_剰余類編 72

Q.
#群 Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時
#類別 の性質より
Gの任意の元は
Hによるいずれかの #左剰余類 に属する.
この時
Gの任意の元は
Hによるある #右剰余類 にも属する事を示せ

A.
前ツイより
x∈Hy⇒x^{-1}∈y^{-1}H
∴Gの任意の元がある右剰余類に属する

#群論入門_剰余類編 67

Q.
#左分解 や #右分解 を，
「Gという集合を
Gよりも小さな
Hという部品に分解できる」と解釈してみる.
その場合，
Hは適当な部分集合で良いのか?

A.
そうではなく
Hは #群 の #公理 を満たす必要がある.
単なる「部分集合」と
構造を持つ「#部分群」との差がこれ.

#群論入門_剰余類編 66

Q.
#群 Gを #左分解 または #右分解 する際の
#部分群 Hとして
Gの #自明な部分群，つまり
・G自身 or
・ #単位群{e}
を使うとどうなる?

A.
たとえ:
多項式f(x)を因数分解する時，
共通因数として
f(x)自身または
1という数をくくりだしても
意味ある分解にならない.

#群論入門_剰余類編 65

Q.
「#群 Gが #部分群 Hを持つ時
GをHによって #左分解 または #右分解 できる」

わかりやすく例えると

A.
式の因数分解で
複数の項から
共通の因数をくくりだすのと似ている.

「因数分解における共通因数」が
「群Gの左分解や右分解における部分群H」
というわけ

#群論入門_剰余類編 61

Q.
#左代表系 とは.

A.
#群 Gの
#部分群 Hによる #左分解
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
における
{ a_1, a_2, … } のこと.

各 #左剰余類 H a_i ごとに
その #類 の #代表元 a_i を
任意に選んだものの集合が
全ての左剰余類の
#完全代表系 をなし
左代表系という.

#群論入門_剰余類編 60

Coset Decomposition
(#剰余類 に分解すること)
https://www.emathzone.com/tuto...

・right coset decomposition(#右分解):
The set of all right cosets of H in G
gives a partition(#分割) of G.

・left coset decomposition(#左分解)

#群論入門_剰余類編 59

Q.
#群 G の
#部分群 H による #右分解 とは.

A.
#左分解 の時と同じく
G の H による #右剰余類 を
b_1 H,
b_2 H,
…
とする時，
これらを使って
Gを #類別(#同値分割)した式
G ＝ b_1 H ＋ b_2 H ＋ …
を
G の右分解という.

#群論入門_剰余類編 57

Q.
#群 G の
#部分群 H による #左分解
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
において，
a_1, a_2, … は何を表すか.

A.
元 a_i は
左剰余類 H a_i の #代表元 で，
#類 の中での代表元の選び方には任意性がある.

元 { a_1, a_2, … } は
全ての左剰余類の
#完全代表系.

#群論入門_剰余類編 56

Q.
#群 G の
#部分群 H による #左分解 とは.

A.
G の H による #左剰余類 を
H a_1,
H a_2,
…
とする時，
これらを使って
Gを #類別(#同値分割)した式
G ＝ H a_1 ＋ H a_2 ＋ …
を，
G の左分解という.

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理