#群論入門_剰余類編 90

Q.
#群 Gの任意の元 a に対し
a の #位数 が
G の位数の約数である事を示せ.

A.
元 a∈G が #生成 する #巡回部分群
H ＝ ‹a›
は G の #部分群.

a の位数は #巡回群 H の位数
|H| ＝ |a|.

#ラグランジュの定理 より
|H| は |G|の約数.
∴ |a| は |G|の約数.

#群論入門_剰余類編 89

Q.
#群 G とその任意の元 a に対し
a^|G| を求めよ.

A.
元 a の #位数 は
a が #生成 する #巡回部分群 H＝‹a› の
元の個数であり
H は G の #部分群.
また元 a の位数は
a^m＝e
をみたす最小の自然数mでもあるので，
a^|H|＝e.
両辺を |G:H| 乗すると
a^|G|＝e.

#群論入門_剰余類編 1
↑
このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理

#巡回群とは 72
↑
このハッシュタグの復習：

▶#巡回群
･#べき
･#生成元 の位数
･巡回群の #位数
･例: #原始n乗根
･巡回群の #部分群

▶#群 の1つの元…
･…が #生成 する #巡回部分群
･…の位数

▶部分集合が #生成系 となる部分群
･#べき積

全部思い出せますかな

#巡回群とは 69

英語名称のおさらい

#巡回群 cyclic group
単項生成群 monogenous group

#生成元 generator
原始元 primitive

#巡回部分群 cyclic subgroup
#単位群(自明群) trivial group
#位数 order

#巡回群とは 64

x, y ∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶#巡回部分群 の性質より
①xが #生成 する巡回群 ‹ x › はGの #部分群
②yが生成する巡回群 ‹ y › はGの部分群

▶#部分集合が生成系となる部分群 の性質より
③{ x, y } が #生成系 となる群 ‹ x, y › はGの部分群

#巡回群とは 55

①
#群 Gの1元aが #生成 する
Gの #巡回部分群 ‹a›

②
群Gの部分集合Mが生成する
Gの #部分群 ‹M› は，
・「Mが生成するGの部分群」
・「Mが #生成系 となるGの部分群」
↑
②に名前を付けると…
#部分集合が生成する部分群
#部分集合が生成系となる部分群
長っ！

#巡回群とは 53

#群 Gの1元aから #生成 される
(すなわちaの #べき を要素に持つ)
Gの #部分群 ‹a› を
「aが生成するGの #巡回部分群」
と呼び
#巡回群 である.

↑
これをaのかわりに
Gの部分集合Mで言い換えようとしたとき
「巡回部分群」「巡回群」の所で
かわりの用語が無くて困る.

#巡回群とは 47

前ツイの解説:

#群 G内に
#単位元 eではない元aがあれば，
その元a(≠e)を使って
必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる.
これはGの部分群であり，
e, a ∈ ‹a› より
‹a› の位数は2以上.

つまり
Gの #位数 が2以上なら，
Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 45

ここで得られた結果は
「#巡回群 Gには，
|G|の任意の約数mに対し
#位数 がmであるような
Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」
というもの.

群論の勉強を進めると，この先
「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」
(#ラグランジュの定理)
というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 37

Q.
ここまで出てきた「#位数」の定義を整理
①#有限群 Gの位数
②#巡回群 ‹a› の元 x の位数
③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数

A.
①
群Gに属する異なる元の個数.

②
x^n=eとなる最小の自然数n.

③
aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36

Q.
「#巡回群 の元の #位数」は定義済.
では
巡回群とは限らない一般の #群 Gの
元aの位数とは.

A.
aが #生成 する #巡回部分群
‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …}
が位数nの #有限群 なら
元aの位数はnとする.

→巡回群でない一般の群も
元の位数を定義可能

#巡回群とは 35

①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し
a^i=eとなる最小の自然数iを
生成元aの #位数 と呼ぶ.

②任意の #群 Gの
任意の元xは，
xを生成元とする
#巡回部分群‹x›を生み出せて，
①より‹x›は位数をもつ.
↓
任意の群Gの
任意の元xは
それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 34

Q.
#加法群 G の
ある1つの元 a について
a が #生成 する #巡回部分群 は.

A.
加法群の場合，演算の #べき は
a^1＝a
a^2＝a＋a ＝ 2a
a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma
a^{-m}＝ －ma
と表せて
H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ }
Hは
(一般に)#無限群 かつ
#巡回群 かつ
Gの #部分群.

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 31

Q.
#巡回部分群 について学ぶと，
・ #群 Gに属する元
・群Gの #部分群
の関係について見方が変わる。

つまり，
「群Gがある元xを要素に持つ」という事は
何を意味するかというと…

A.
「Gは，
その元xが生成する巡回部分群 ‹x› を
部分群に持つ」
という事をも意味する.

#巡回群とは 30

#群 G の元が
g_1，g_2，g_3，…
だとする時

この1個1個ぜんぶから
その元を #生成元 にした
#巡回部分群 を作れて
H_1 ＝ ‹ g_1 ›
H_2 ＝ ‹ g_2 ›
H_3 ＝ ‹ g_3 ›
…
のように
Gの #部分群 がざくざく手に入る！

※ただしこれらの巡回部分群は
互いに等しい場合も.

#巡回群とは 29

Q.
よく考えてみると，
#巡回部分群 ってスゴく便利なのでは？

A.
一般の #群 Gがある時，
Gのどの元からも1コずつ
その元が #生成元 となる #巡回群 をつくれて，
その巡回群は必ずGの #部分群 になるわけだから.
Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 28

Q.
H を
元 a によって #生成 される
Gの #巡回部分群 とする.
H が G の #部分群 である事を示せ.

A.
前ツイよりHは #群.
また前提より a∈G で
群Gの #二項演算 は #閉じている ので
aの任意の #べき はGに属する.
∴Hの全ての元がGに属し
HはGの部分集合で
HはGの部分群.

#巡回群とは 27

Q.
Hを
元aによって #生成 される
Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする.

Hが #群 である事を示せ.

A.
H の任意の2元に対し
(a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで
#二項演算 が #閉じている.
#単位元 は a^0＝e.
任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在.
よって H は群である.