#微分方程式の基礎 6

Q.
「同次」かつ「斉次」であるような
微分方程式の例

A.
dy/dx＋( 1/x ) y＝0

これは
dy/dx＝f( y/x ) の形をしているから
#同次 形の微分方程式であり
#変数分離 で解ける.

また
この線形微分方程式は右辺が0で
全ての項に未知関数が含まれるから
#斉次 である.

#微分方程式の基礎 3

1階･常微分方程式のパターン

「1階線形 #斉次」
(First-order, linear, homogeneous)

▶形式
dy/dx＋P(x) y＝0

▶解き方
#変数分離

▶参考
yと, yの全ての導関数とについて高々1次であれば
線形微分方程式と呼ぶ.
線形微分作用素L=d/dx+P(x)で
L y=0
と書ける.

＜#物理数学の参考書＞

「リー理論と特殊函数」(1975ミラー)

前書きより
『#線型偏微分方程式 を
#変数分離 する #座標系 は
その #方程式 に #附随 した
#Lie環 の
#展開環 に属する
#可換 な #作用素系 と
対応しており，
方程式の #解 である
#特殊函数 は
その #同時固有函数 になる.』

#微分方程式の基礎 2

1階・常微分方程式のパターン

「#同次 形」(First-order, homogeneous)

▶形式：
dy / dx＝f( y / x )

▶解き方：
y/x＝z とおくと
→y＝zx
→dy/dx＝d(zx)/dx＝f(z)
xとzの #変数分離 形となる。

#微分方程式の基礎 1

1階・常微分方程式のパターン

「#変数分離 形」(separation of variables)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

▶形式：
dy / dx＝f(x) g(y)

▶解き方：
両辺に変数を分離・整理し
dy / g(y)＝f(x) dx
この両辺を積分すればよい。
積分定数 ＋C を忘れずに。

#微分方程式を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#微分方程式」シリーズ
4 / 24

【第三弾】微分方程式（様々な #変数分離形 ･ #同次形）の解き方
https://www.youtube.com/watch?...
14:36

#変数分離 #同次
#数学 #大学数学 #微積分

#微分方程式を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#微分方程式」シリーズ
2 / 24

【第一弾】微分方程式（#変数分離形）の解き方
https://www.youtube.com/watch?...
9:30

#変数分離
#数学 #大学数学 #微積分

＜#解析力学の参考書＞

現代物理学叢書「力学」
(2001大貫･吉田)

前書きより引用:
「第3章では
#Hamilton力学系 の
#求積可能性 に関する
Liouville-Arnoldの定理をはじめ，
より具体的な #求積操作 である
Hamilton-Jacobiの方程式の
#変数分離 による #解法 が
やや詳しく述べられる。」