#群論入門_剰余類編 40

Q.

(1)
集合X内に
何らかの #同値関係 が存在する

(2)
集合Xを #類 で #類別(#分割)できる

(1)⇔(2) を示せ.

A.
1⇒2:
同値関係があれば
#同値類 で類別できる事を証明済.

2⇒1:
類別がある時
同じ類に属する事を #同値 とみなせば
同値関係となる事を証明済.

#群論入門_剰余類編 30

#同値類 (equivalence class)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

"ある集合 S の元が
#同値関係 として定式化される
#同値 の概念を持つとき，
集合 S を同値類たちに
自然に #分割 できる."

#群論入門_剰余類編 29

Q.
#同値類 とは.

A.
集合 X 内で，
X のある1つの元 a と
互いに #同値関係 にある全ての元の集合を
a の同値類と呼び
C_a のように表記する.
C_a ＝ { x | x∈X, x～a }
※Cはclassの意

a と #同値 な元の集まりであり，
#反射律 により
a 自身を含む.

#群論入門_剰余類編 26

Q.
#同値律 や #同値関係 の観点から言って
「#同値」とは何か.

A.
同値関係にある2つの要素同士を
互いに同値であるという.

同値律の3つの関係式を満たせば，
互いに同値関係にあり，
互いに同値である.