#シュレディンガー方程式の導出 36

#古典力学 での
粒子(#電子)の「#運動エネルギー K」を
1次元と3次元で考えてみよう。

▶1次元では
K_1 ＝ {p_x}^2 / 2m

▶3次元では
K_3 ＝ ( {p_x}^2 ＋ {p_y}^2 ＋ {p_z}^2 ) / 2m

p_x，p_y，p_z は
それぞれ粒子(電子)の
x，y，z 方向の #運動量。

#シュレディンガー方程式の導出 33

今から100年以上も前，
試行錯誤と
右往左往で作られていった
#前期量子論…。

#相対論 が既習である事を前提に，
当時の「実験事実」と整合するよう
#古典力学 の数式を
頑張ってアナロジーで
#演算子 形式に置き換えてゆく…。
学びづらいですよね

＜#解析力学の参考書＞

「ロボットと解析力学」(2018有本)

p1より:
『#解析力学 では，
#座標系 に依存した表現を
#数学的 な手法を使う事により
「座標系に依存しない #一般論」
として記述する事が可能となる.
解析力学は
#古典力学 の知識を前提に
それを数学的に扱う #学問 といえる.』

#シュレディンガー方程式の導出 23

#古典力学 の #波動方程式(時間依存)
u_xx=(1/v^2)u_tt
に正弦波解
u(x,t)=X(x) A cosωt
を代入し
X_xx=－(ω^2 / v^2) X ★
なる時間非依存の式を得る.

波の変数の基本関係式より
ω=2πf
v=fλ
∴ ω^2 / v^2=4π^2 / λ^2

よって★は
X_xx=－(4π^2 / λ^2) X

#シュレディンガー方程式の導出 22

#古典力学 の #波動方程式
u_xx=(1/v^2)u_tt
v:波の速度

u(x,t)=X(x)T(t)=X(x)Acosωt
なる #変数分離形 の
#正弦波解 を仮定・代入すると
u_xx=X_xx A cosωt
u_tt=－(ω^2) X A cosωt
∴
X_xx A cosωt=－(1/v^2)(ω^2) X A cosωt
→
X_xx=－(ω^2 / v^2) X

＜#解析力学の参考書＞

「ロボットと解析力学」
(コロナ社2018有本)

p1より引用:
『#ニュートン にはじまる
#古典力学 は，
#運動量 と呼ばれる
#ベクトル量 の #定義 により，
#運動 に必要な
#次元 を持つ #空間 内で
#幾何的 に展開され，
#直観的 に理解しやすい。
しかし…』

#シュレディンガー方程式の導出 3

#量子化学 の典型的カリキュラム:

･講義1回目で #前期量子論 をやり
･#古典力学 の #波動方程式 を見せ
･そこからの類推で，水素原子の
#シュレディンガー方程式 を導出。

この流れを
「#シュレディンガー方程式の導出」
のタグで紹介してゆきます。

#シュレディンガー方程式の導出 2

#前期量子論 では…

･#古典力学 に(理由も分からず)
演算子置き換えを導入
↓
･#量子力学 へ移行

という流れに
謎，違和感，天下り感を感じます。

が実際は逆で，
「量子力学がまずあって
そこから古典力学が導出される」
という流れが真なのです。

＜#解析力学の参考書＞

「量子力学を学ぶための解析力学入門」(1978)
https://www.amazon.co.jp/dp/40...

前書きより:
『とにかくこの本は
#量子力学 のみを
頭において書いたもので，
#古典力学 の #問題 を
#解く ことなど
#意図 していないから
はじめからその #覚悟 を
しておいていただきたい.』

＜#代数学の参考書＞

「群と表現」(1996吉川)

序章p4より:
『#古典力学 では
n個の #粒子 を
#入れかえ る
n次 #対称群 S_n で
#力学系 の #性質 が
#特徴 づけられるが，
#量子力学 では
SU(n) や SO(n) と呼ばれる
#連続群 の #対称性 をもつ
力学系が生じる。
例えば #クォーク模型…』

＜#解析力学の参考書＞

「量子力学を学ぶための解析力学入門」(講談社1978)

『#量子力学 に手をつけるために
#どうしても必要 な
#古典力学 の知識は
実は #驚くほど 少なくてすむ.
#抽象的 で #難解 な
#解析力学 を
#最少限 に #整理 し
#誰にでもわかる よう
やさしく的確に手ほどき.』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

p68より:
『前章で幾つかの
#古典力学 の #量子化 を考察した.
#量子力学 の成功は
これらの量子化により
古典力学では #説明不能 な
#実験結果 を
#説明可能 にした事.
本章は空洞放射，原子の安定性，
水素原子のスペクトル…』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005)

p11より
『#古典力学 の #測定誤差 は
測定の精度と
偶然誤差によるもので
力学系の構造に
係わる事ではない.
他方 #ミクロの世界 では
測定の精度や
偶然誤差とは全く独立に
測定値のゆらぎは
#量子力学系 の
#構造 そのものに由来.』

＜#非平衡系の参考書＞

「非平衡統計力学」(1999裳華房)

出版社の公式URL
https://www.shokabo.co.jp/mybo...
・正誤表あり

『#古典力学 に立脚して話を進め
#量子力学 は用いていない.
冒頭の2章で古典力学と
#平衡統計力学 の #エッセンス を
コンパクトにまとめてあり
初学者が容易に読み始め…』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

p68より:
『前章で幾つかの
#古典力学 の #量子化 を考察した.
#量子力学 の成功は
これらの量子化により
古典力学では #説明不能 な
#実験結果 を
#説明可能 にした事.
本章は空洞放射，原子の安定性，
水素原子のスペクトル…』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(岩波書店2005砂田)

前書きより:
『第2章は
#古典力学 から
#量子力学 への
#移行(#量子化)について
#ハミルトン関数 のクラスを
限定して解説する.
第3章は
#量子論 の #誕生 を促した
#物理現象 について
量子力学による #解釈 を与える.』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005)

p11より
『#古典力学 の #測定誤差 は
測定の精度と
偶然誤差によるもので
力学系の構造に
係わる事ではない.
他方 #ミクロの世界 では
測定の精度や
偶然誤差とは全く独立に
測定値のゆらぎは
#量子力学系 の
#構造 そのものに由来.』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」
(岩波書店2005砂田)
https://booklog.jp/item/1/4000...

前書きより:
『第1章では，
#ヒルベルト空間 の
#作用素論 を基礎にした
#量子力学 の設定を行う.
#古典力学，特に
#ハミルトン力学系 との
類似を追いながら
様々な量子力学的概念を導入する.』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

前書きより:
『#直観 では捉えられない
物質の性質を説明するには
#数学的「#手探り」による
#基礎付け に頼らざるを得ない.
その基礎付けが #正しい ことは
#古典力学 と同様に
#実験事実 との #照合 のみにより
確かめられる.』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

前書きより:
『この
#古典力学 とは全く異なる
#量子力学 の設定は，
#数学的 に極めて美しい
整合性を有している.
しかし「#なぜ このような
設定が正しいのか?」
という問に対しては
#古典的物質観 に立った
説明は極めて困難.』