#群論入門_剰余類編 91

Q.
#群 Gの #位数 が素数 p であれば
Gは #巡回群 である事を示せ.

A.
|G| ≧ 2より
#単位元 ではない元 g∈G が存在し
前ツイより g の位数は G の位数の約数だから
1かp.
gは単位元ではないので位数pであり
g^p＝eかつ
g^x ∈ G (0≦x≦p-1)
よってG＝‹g›.

#群論入門_剰余類編 48

Q.
Gの #部分群 Hに対し
ab^{-1} ∈ H
の時
「aとbはHを法として #左合同」.

左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#反射律 を満たす事を示せ.

A.
Hは群なので #単位元 を持ち
aa^{-1}＝e ∈ H
より
任意のGの元aは
a自身と左合同.
a≡a (mod H)

#群論入門_剰余類編 45

Q.
#群 Gのある #部分群 H
およびGの #単位元 e について，
GのHによるeを含む #左剰余類 を求めよ.

A.
e を含む左剰余類は
H e
と表記でき，具体的には
H e
＝ { he | h ∈ H }
＝ { h | h ∈ H }
＝H

よって，部分群 H そのものである.

#群論入門_剰余類編 44

Q.
Hg という表記で
「GのHによるgを含む #左剰余類」
を表すわけだが…

Hg という集合は
本当に「gを含む」と言えるのだろうか.

A.
#群 の #公理 より，
Gの #部分群 Hは #単位元 eを含む.
よって
Hg ＝ { hg | h ∈ H }
という集合の中に
eg＝gが含まれる.

#群論入門_正規部分群編 59

Q.
「#交換子群列 が有限回で #単位群 に到達しない」
↑
列の末尾に #単位元 が無いってこと？

A.
そうではない.
先頭の #群 Gは必ず単位元eを含み
その #交換子群 も必ずeを含み
列内で順次，常にeを含む.
e"以外"の元を「消す」事ができれば単位群に到達する.

#群論入門_正規部分群編 50

Q.
#群 Gの #交換子群 D(G)
という集合の大きさの意味

A.
Gが #アーベル群 ならD(G)＝{e}.

D(G)が #単位元 e以外の元も持つ時
Gの #部分群(部分集合)であるD(G)の大きさは
「群G内で #交換法則 の成り立たない度合い
(非可換性の強さ)」を表す
と解釈できる.

#群論入門_正規部分群編 34

Q.
(1)
#群 G内の #交換子 が #単位元 eのみ.

(2)
Gが #アーベル群.

(1)⇔(2)を示せ

A.
(1)の時
Gの任意の2元a,bに対し
[a,b]＝a^{-1}b^{-1}ab＝e
→ab＝ba
となりGはアーベル群.

逆に(2)の時
Gの任意の2元a,bに対し
ab＝ba
→a^{-1}b^{-1}ab＝e
∴[a,b]＝e

#群論入門_正規部分群編 32

Q.
#群 G の #単位元 e について
e が常に #交換子 であることを示せ.

A.
交換子を計算する際の引数として
2つとも e をとれば，
[ e, e ]
＝ e^{-1} e^{-1} e e
＝ e e e e
＝ e

よって
e ＝ [ e, e ]
なので，単位元は
交換子としての表記が可能である.

#群論入門_正規部分群編 31

Q.
#群 Gの2つの元a,bの
#交換子 とは…
1) 定義
2) 何に役立つか

A.
1)
演算結果
a^{-1} b^{-1} a b ∈ G
のこと.
[a, b] と書く.

2)
[a, b] = e (#単位元)
である事と
a,bが #可換 である事は同値.

a^{-1} b^{-1} a b＝e
⇔
ab＝ba
2元に #交換法則 が成立.

#群論入門_正規部分群編 18

Q.
「自明な #正規部分群」とは.

A.
#群 G の部分集合のうち
下記の２つは，
(Gの「#自明な部分群」であると同時に)
Gの「#自明な正規部分群」でもある.

(1)
群 G そのもの.

(2)
Gの #単位元 からなる #単位群 {e}.

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 47

前ツイの解説:

#群 G内に
#単位元 eではない元aがあれば，
その元a(≠e)を使って
必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる.
これはGの部分群であり，
e, a ∈ ‹a› より
‹a› の位数は2以上.

つまり
Gの #位数 が2以上なら，
Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 46

Q.
#群 Gが |G|≧2で
#真部分群 を持たなければ
Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ.

A.
#単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが
題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G.
前ツイより
|G|が合成数nなら
nの約数mにより位数n/mの部分群があるので
|G|は素数.

#巡回群とは 39

Q.
#群 G の元 a の #位数 が n で
m は n の約数とする.
このとき n/m ＝ d は整数である.
a^d の位数は?

A.
「その元を何乗すると #単位元 になるか」
という最小の値が位数である点に注意.

a^n＝e のとき
{ a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので
∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38

Q.
#群 Gの元aの #位数 がnで
mはnの約数とする.
a^mの位数は?

A.
a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち
最小のものがnであり
a^n=e.

n=md (m,dは自然数)とおくと
a^(md)=e.

ここで
md=knとなる最小の自然数kはk＝1より
(a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは
d=n/m

∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 27

Q.
Hを
元aによって #生成 される
Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする.

Hが #群 である事を示せ.

A.
H の任意の2元に対し
(a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで
#二項演算 が #閉じている.
#単位元 は a^0＝e.
任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在.
よって H は群である.

#巡回群とは 21

Q.
整数全体の集合ℤを
#巡回群 とみなす場合
その #生成元 は.

A.
a＝+1 または
a＝-1 を生成元とし，
#二項演算 として加法
#単位元 1
元 x の #逆元 として －x を考え，
演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し
その全体の集合は
{ na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 8

Q.
#単位群(自明な群)は #巡回群 であり，
その #生成元 の #位数 が
1である事を示せ.

A.
単位群(自明群，trivial group)は
ただ1つの元(#単位元)からなる #群 {e}.

全要素が生成元 e の #べき で書けるので巡回群.

e^n＝eとなる最小の自然数は
n＝1なので，
eの位数は1.

#巡回群とは 7

Q.
#巡回群 G の
#生成元 が a であるとき，
a の #位数 とは.

A.
G が #有限群 の場合，
e を #単位元 とし
a^m ＝ e を満たす
最小の自然数 m が存在し
その m を
「元 a の位数」と呼ぶ.

#巡回群とは 2

Q.
#群 のある1つの元 a の #べき とは

A.
a の n 個の積を
a^n ＝ aaa…a ※n個
と書く.

a^{-1} の n 個の積を
a^{-n} ＝ (a^{-1}) (a^{-1}) (a^{-1}) … (a^{-1}) ※n個
と書く.

a^0 ＝ e (#単位元)と定義.

任意の整数 n に対して定義される a^n を
元 a のべきと呼ぶ.