#群論入門_剰余類編 67

Q.
#左分解 や #右分解 を，
「Gという集合を
Gよりも小さな
Hという部品に分解できる」と解釈してみる.
その場合，
Hは適当な部分集合で良いのか?

A.
そうではなく
Hは #群 の #公理 を満たす必要がある.
単なる「部分集合」と
構造を持つ「#部分群」との差がこれ.

#群論入門_剰余類編 49

Q.
左合同という #二項関係 が
#同値律 の3定義のうち
#対称律 を満たす事を示せ.

A.
(既に示してあるが再掲)
#逆元 の存在に関する群の #公理 より
ab^{-1} ∈ H　ならば
(ab^{-1})^{-1} ∈ H　であり
ba^{-1} ∈ H.
よって
a≡b (mod H)ならば
b≡a (mod H).

#群論入門_剰余類編 44

Q.
Hg という表記で
「GのHによるgを含む #左剰余類」
を表すわけだが…

Hg という集合は
本当に「gを含む」と言えるのだろうか.

A.
#群 の #公理 より，
Gの #部分群 Hは #単位元 eを含む.
よって
Hg ＝ { hg | h ∈ H }
という集合の中に
eg＝gが含まれる.

#巡回群とは 59

Q.
#群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m}
の #べき積 の全体は
群をなす事を示せ

A.
べき積同士の積はべき積で
#二項演算 が #閉じている.
どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK.
#単位元 は(a_1)^0=e.
積の逆元の計算より
べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積.
∴群の #公理 を満たす

#巡回群とは 33

x∈#群 Gの時
Gの情報が芋づる式にわかる！

▶群の #公理 より
①xの #逆元 x^{-1}もGに属する
②#二項演算 が #閉じている ので
xの正の #べき x^2, x^3, …と
xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する

▶#巡回部分群 の性質より
③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#群論の知識

#自由群 (free group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#公理 から来る自明なもの以外に，
元の間の等式がない #群 のこと.

#代数系の初歩 11

Q.
#半群，#モノイド とは.

A.
#群 の #公理 のうち
#結合法則 を満たすものが半群.
#単位元 や
#逆元 の存在は要請しない.

群の公理のうち
結合法則と，
単位元の存在を満たすものがモノイド.
逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 10

#マグマ (数学) 英:magma
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる.
ただしこれとは別に，
#圏論 に「亜群」という用語があるので
混同してはならない.

・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し
それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 2

Q.
#代数的構造 と
#代数系 の違い
および2者の関係は

A.
代数的構造:
演算や算法で決まる
集合の「構造」のこと.

代数系:
代数的構造を持つ「集合」のこと.

様々な代数系から
それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し
抽象化・ #公理 化したものが
代数的構造.

#群論の初歩 90
↑
このハッシュタグの復習：

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

全部思い出せますかな

#群論の初歩 85

英語名称のおさらい

#群 group
#公理 axiom

#単位元 identity element
#逆元 inverse element

#結合法則 associative law
#結合律 associative property, associativity

#アーベル群 abelian group
#可換群 commutative group

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970)

p21より:
『#群 の #公理的 定義は
1人の数学者から
生まれたのではない.
群の基礎となる
形式的 #公理 が
はっきり述べられたのは
ほぼ #1世紀 にわたる
#群論 研究のあと.
#最初 の重要な定理は
#1771年 に #ラグランジュ が
述べて証明した.』

#大学の数学・龍孫江さんの動画

龍孫江さんによる「#数学 日誌」シリーズ
19

番外編：#群 の #公理 を弱めてみよう
https://www.youtube.com/watch?...

#群論
#代数 #代数学

#群論の初歩 3

Q.
#群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ

A.
演算の定義された集合において
1. #結合法則
2. #単位元 の存在
3. #逆元 の存在
が満たされていること.

※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は
群の3公理に含めない.
それは群以前に #マグマ の性質なので.

#群論の初歩 1
↑
このタグでは
#群論 に独学で入門するため
下記を学びますぞ！

▶#群 の定義(#公理)
･#結合法則，#単位元，#逆元
･#簡約法則

▶#アーベル群(#可換群)
･#交換法則

▶#加法群
･#零元

▶#部分群
･#真部分群
･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)