#信号処理の数学の準備 10
↑
このタグの復習…

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。

OKでしょうか。

#信号処理の数学の準備 9

#積和の公式 は
#三角関数 の #2次式 を #1次式 に直し
#次数 を下げるので
#積分 可能になり便利.

しかし #和積の公式 は逆で，
三角関数の1次式を2次式に直し
次数をわざわざ上げるので
積分できなくなる！
だから和積は
#フーリエ解析 では不要なのである.

#信号処理の数学の準備 8

#フーリエ解析 の出だしで…

実は #積和の公式 を覚える必要はない！

「積和の公式を使えば
#三角関数 の #2次式 を
三角関数の #1次式 に変形できる」
という事実さえ知っていればよい。

なぜなら
「三角関数の1次式」は
1周期ぶん #積分 したら0になるから。

#信号処理の数学の準備 7

#積和公式 を作る

①sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β
⑪sin(α-β)=sin α cos β-cos α sin β
②cos(α+β)=cos α cos β-sin α sin β
⑫cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β

sinα sinβ=(⑫-②)/2
cosα cosβ=(⑫+②)/2
sinα cosβ=(①+⑪)/2

#信号処理の数学の準備 6

#オイラーの公式 から
#積和の公式 を導出するには
cosα cosβ
=({e^(jα)+e^(-jα)}/2)・({e^(jβ)+e^(-jβ)}/2)
=(1/4){
e^j(α+β)+
e^j(α-β)+
e^j(-α+β)+
e^j(-α-β)
}
cos,sinの表記に直し
cos(-θ)=cosθ
sin(-θ)=-sinθ
で整理すればよい.(略)

#信号処理の数学の準備 5

#オイラーの公式 より
e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ
e^(－jθ)=cosθ－j sinθ
∴
cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨
sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩

これを使って頑張って
#積和の公式 を導出する事も可能だが…

素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 4

#三角関数 の #2次式(2乗)を
三角関数の #1次式 に変形

cos 2θ
=cos^2 (θ)－sin^2 (θ) ⑧

⑧=cos^2 (θ) － ( 1－cos^2 (θ) )
=2 cos^2 (θ) － 1
∴cos^2 (θ)＝(1＋cos 2θ) / 2

⑧=( 1－sin^2 (θ) ) － sin^2 (θ)
=1－2 sin^2 (θ)
∴sin^2 (θ)＝(1－cos 2θ) / 2

#信号処理の数学の準備 3

#フーリエ解析 の出だしで必要な
#三角関数 の公式

⑥sin(α+β)＝sin α cos β + cos α sin β

⑦cos(α+β)＝cos α cos β － sin α sin β

⑧cos 2θ ＝ cos^2 (θ) － sin^2 (θ)

⑦の右辺の負号が肝心。
もしそこが+だと
⑧右辺はcos^2＋sin^2=1になってしまう！

#信号処理の数学の準備 2

e^jα=cosα+j sinα①
e^jβ=cosβ+j sinβ②

①②をかけて
(e^jα)(e^jβ)③
=(cosα+j sinα)(cosβ+j sinβ)
=
(cosα cosβ-sinα sinβ)
+
j(sinα cosβ+cosα sinβ) ④

③=e^{j(α+β)}=cos(α+β)+j sin(α+β)⑤

④⑤の実部と虚部を比較し
sin,cosの #加法定理 を得る。

#信号処理の数学の準備 1
↑
このタグでは下記の事を考えます。

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。

#信号処理の連ツイ

①#信号処理の数学の準備
②#アナログ信号の解析法 (フーリエ級数展開)
③#フーリエ変換の性質や諸公式
④#フーリエ変換の具体的な計算
⑤#デジタル信号とサンプリング (サンプリング定理)
⑥#デジタル信号の周波数解析 (離散時間フーリエ変換，離散フーリエ変換)

#信号処理の数学の準備 10
↑
このタグの復習…

･#信号処理 をしっかり学ぶには
#三角関数 の #積分 計算が必要。

･#オイラーの公式 を使えば
#積和の公式 や #和積の公式 を導出できる。

･三角関数の公式を
全て暗記する必要はない。
積分すると消える項があるから。

OKでしょうか。

#信号処理の数学の準備 9

#積和の公式 は
#三角関数 の #2次式 を #1次式 に直し
#次数 を下げるので
#積分 可能になり便利.

しかし #和積の公式 は逆で，
三角関数の1次式を2次式に直し
次数をわざわざ上げるので
積分できなくなる！
だから和積は
#フーリエ解析 では不要なのである.

#信号処理の数学の準備 8

#フーリエ解析 の出だしで…

実は #積和の公式 を覚える必要はない！

「積和の公式を使えば
#三角関数 の #2次式 を
三角関数の #1次式 に変形できる」
という事実さえ知っていればよい。

なぜなら
「三角関数の1次式」は
1周期ぶん #積分 したら0になるから。

#信号処理の数学の準備 7

#積和公式 を作る

①sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β
⑪sin(α-β)=sin α cos β-cos α sin β
②cos(α+β)=cos α cos β-sin α sin β
⑫cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β

sinα sinβ=(⑫-②)/2
cosα cosβ=(⑫+②)/2
sinα cosβ=(①+⑪)/2

#信号処理の数学の準備 6

#オイラーの公式 から
#積和の公式 を導出するには
cosα cosβ
=({e^(jα)+e^(-jα)}/2)・({e^(jβ)+e^(-jβ)}/2)
=(1/4){
e^j(α+β)+
e^j(α-β)+
e^j(-α+β)+
e^j(-α-β)
}
cos,sinの表記に直し
cos(-θ)=cosθ
sin(-θ)=-sinθ
で整理すればよい.(略)

#信号処理の数学の準備 5

#オイラーの公式 より
e^(jθ)　=cosθ＋j sinθ
e^(－jθ)=cosθ－j sinθ
∴
cosθ={ e^(jθ)＋e^(－jθ) } / 2 ⑨
sinθ={ e^(jθ)－e^(－jθ) } / 2j ⑩

これを使って頑張って
#積和の公式 を導出する事も可能だが…

素直に #加法定理 の式を比較した方が導出は楽.

#信号処理の数学の準備 4

#三角関数 の #2次式(2乗)を
三角関数の #1次式 に変形

cos 2θ
=cos^2 (θ)－sin^2 (θ) ⑧

⑧=cos^2 (θ) － ( 1－cos^2 (θ) )
=2 cos^2 (θ) － 1
∴cos^2 (θ)＝(1＋cos 2θ) / 2

⑧=( 1－sin^2 (θ) ) － sin^2 (θ)
=1－2 sin^2 (θ)
∴sin^2 (θ)＝(1－cos 2θ) / 2

#信号処理の数学の準備 3

#フーリエ解析 の出だしで必要な
#三角関数 の公式

⑥sin(α+β)＝sin α cos β + cos α sin β

⑦cos(α+β)＝cos α cos β － sin α sin β

⑧cos 2θ ＝ cos^2 (θ) － sin^2 (θ)

⑦の右辺の負号が肝心。
もしそこが+だと
⑧右辺はcos^2＋sin^2=1になってしまう！

#信号処理の数学の準備 2

e^jα=cosα+j sinα①
e^jβ=cosβ+j sinβ②

①②をかけて
(e^jα)(e^jβ)③
=(cosα+j sinα)(cosβ+j sinβ)
=
(cosα cosβ-sinα sinβ)
+
j(sinα cosβ+cosα sinβ) ④

③=e^{j(α+β)}=cos(α+β)+j sin(α+β)⑤

④⑤の実部と虚部を比較し
sin,cosの #加法定理 を得る。