#代数学の知識

#ホモロジー代数 (homological algebra)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
代数的な設定のもとで #ホモロジー を研究する.
ホモロジー的関手と，
それから必然的に生じる複雑な #代数的構造 を調べる.
#チェイン複体(chain complex) が中心的な概念.

#群論の知識

#群環(group ring)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・ #有限群 の #表現論 で
重要な役割を果たす #代数的構造.
・与えられた #群 と #環 の構造を
自然に用いて構成される.

#位相群 の群環
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論入門_正規部分群編 28

#組成列 composition series
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #群 などの #代数的構造 を
より単純な構造の #単純群 に分解する.

・組成列は
「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」.
極大とは
「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」
という意.

#群論の知識

#表現論 (representation theory)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#ベクトル空間 の線形変換」として
#代数的構造 を #表現 することで，
代数構造上の #加群 を研究する分野.

抽象的な代数的構造の元と演算を
#行列 と行列の和や行列の積で記述し，
より具体的にする.

#代数系の初歩 29

このハッシュタグの復習:

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28

英語名称の復習

#代数的構造 algebraic structure
#代数系 algebraic system

#二項演算 binary operation
#簡約法則，簡約律 cancellation property

#マグマ magma
#亜群 groupoid
#半群 semigroup
#モノイド monoid
#準群 quasigroup, quasi-group
#擬群，ループ loop

#代数系の初歩 14

#モノイド(monoid)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・単系(たんけい)とも呼ぶ.

・1つの #二項演算 と
#単位元 をもつ #代数的構造 であり，
#結合法則 を満たす.

・モノイドは
「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」)
なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 5

Q.
ある #代数的構造 G が
ある #二項演算 について
#閉じている とはどういう意味か

A.
G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって
二項演算を実行した際
演算の結果である xy も必ずGに属している
ということ.

要は，演算の結果が
集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 3

代数的構造
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ #代数的構造(algebraic structure)
#ブルバキ が導入した概念.

・代数的構造の具体例は
#群
#環
#体 など.

・代数的構造を持つ集合は
#代数系(algebraic system).

・代数系を研究するのが #代数学.

#代数系の初歩 2

Q.
#代数的構造 と
#代数系 の違い
および2者の関係は

A.
代数的構造:
演算や算法で決まる
集合の「構造」のこと.

代数系:
代数的構造を持つ「集合」のこと.

様々な代数系から
それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し
抽象化・ #公理 化したものが
代数的構造.

#代数系の初歩 1
↑
このハッシュタグでは
#群論 の土台となる抽象 #代数学 の
初歩を俯瞰するため
下記の事項を学びますぞ！

・ #代数的構造 と #代数系
・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法)

・ #群 と他の代数構造を比較:
#マグマ，#半群，#モノイド
#準群，ループ(#擬群)

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p3より引用:
『#一般線型群 GL(n，ℂ) には
① #群 という #代数的構造
② #距離 によって定義されるいわゆる #位相的構造
が導入されて，この2構造は
「#代数的演算 が #連続 となる」
という意味で #両立 している.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p2より引用:
『#連続群 とは，
1つの #集合 であって
#群 という #代数的構造 と
今1つ #位相空間
もしくは #多様体 という
#幾何学的構造 を許し，
この2 #構造 が
先のℝやℂの場合のように
うまくからみ合っている物である.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p1より:
『ℝやℂは
#代数的構造 と
#位相的構造 の両面を備え，
この2種類の構造は
互いに無関係でない.
和や積は2変数x，yの #連続関数.
#四則演算 の #連続性 は
#解析学 では，ほとんど暗黙の中に
絶えず用いられている.』

#環論の知識

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

①#昇鎖条件
(ascending chain condition, ACC)
半順序集合で，真の上昇列が有限回で止まる.

②#降鎖条件
(descending chain condition, DCC)
半順序集合で，真の下降列が有限回で止まる.

どちらも
#代数的構造 が満たす有限性に関する性質.

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p1より引用:
『端的に言ってしまうなら，一般に
#代数的構造 をもつ #集合 の研究が
#群論 をはじめとする
現代 #代数学 の諸分野であり，
#位相的構造 をもつ集合の研究が
#位相空間論 など
いくつかの #幾何学 の分野である.』

＜#代数学の参考書＞

「連続群論の基礎」(朝倉書店1973村上)

p1より:
『#四則演算 が許されるという
ℝやℂの #代数的構造 が
古典的な #代数学 の根底を与える.
またℝやℂでは
その任意の2点の間に #距離 があり
ここにいわゆる #位相的構造 が存在し
#連続性 と #微積分 が論じられる.』

#群論の初歩 5

Q.
ある #代数的構造 に
#結合法則 が課されていると
何が嬉しいのか

A.
演算の「結合順序」を
気にしなくて済むおかげで，
3個以上の元の積を書く時
煩わしい括弧を省略でき楽.

(ab)c ＝ a(bc) で
どちらも同じ値で区別不要のため
括弧を外し単に abc と書けばよい.

#群論の初歩 2

#群 (英 group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・最も基本的と見なされる #代数的構造 の1つ

・数学や物理学全般で
様々な枠組みを与えるため応用

・数学的対象 X から X への
「#自己同型 の集まり」の満たす性質を
代数的に抽象化.
この集まりは X の #対称性 を表現する