#複素解析を概観 28

#留数 の求め方

▶すぐに f(z) を #特異点 z_0 周りに
#ローラン展開 できれば，
留数はローラン展開の係数を使って
α_{-1} ＝ Res[ f(z_0) ]

▶f(z) が1位の #極 を持つなら
Res[ f(z_0) ] ＝ { (z－z_0) f(z) }_{z ＝ z_0}

#複素解析を概観 28

#留数 の求め方

▶すぐに f(z) を #特異点 z_0 周りに
#ローラン展開 できれば，
留数はローラン展開の係数を使って
α_{-1} ＝ Res[ f(z_0) ]

▶f(z) が1位の #極 を持つなら
Res[ f(z_0) ] ＝ { (z－z_0) f(z) }_{z ＝ z_0}

#複素解析を概観 26

#留数(りゅうすう)residue
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･有理型関数が #孤立特異点 を持つ時，
その #特異点 を囲む経路に沿って
#周回積分 することで得られる #複素数 を
留数という.

･#ローラン展開 が既知な函数については
積分を計算せず
直ちに留数を求められる.

#複素解析を概観 25

▶#留数の定理:

∲_C f(z) dz
＝
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}
＝
2πi Σ Res[ f(z) ]

#周回積分 の値を求めるには，
積分経路の #閉曲線 内の
全 #特異点 周りで
うまく
#ローラン展開 係数 α_{-1}
＝#留数
＝Res[ f(z) ]
の総和を求めればよい。

#複素解析を概観 26

#留数(りゅうすう)residue
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

･有理型関数が #孤立特異点 を持つ時，
その #特異点 を囲む経路に沿って
#周回積分 することで得られる #複素数 を
留数という.

･#ローラン展開 が既知な函数については
積分を計算せず
直ちに留数を求められる.

#複素解析を概観 25

▶#留数の定理:

∲_C f(z) dz
＝
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}
＝
2πi Σ Res[ f(z) ]

#周回積分 の値を求めるには，
積分経路の #閉曲線 内の
全 #特異点 周りで
うまく
#ローラン展開 係数 α_{-1}
＝#留数
＝Res[ f(z) ]
の総和を求めればよい。

#複素解析を概観 24

#特異点 周りの #ローラン展開
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k
なわけだが…

#正則関数 の性質より，
これらローラン展開の係数のうち
#周回積分 して値が生き残るのは
「分母が1次式の項」のみ(k=-1)

よって
∲_C f(z) dz
=
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}

#複素解析を概観 24

#特異点 周りの #ローラン展開
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k
なわけだが…

#正則関数 の性質より，
これらローラン展開の係数のうち
#周回積分 して値が生き残るのは
「分母が1次式の項」のみ(k=-1)

よって
∲_C f(z) dz
=
2πi Σ_{領域内の全特異点} α_{-1}

#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz

#複素解析を概観 23

#級数展開

▶#正則 領域内で #テイラー展開:
f(z)
=
Σ{n=0→∞} { f^(n) (z) / n! }( z－z_0 )^n

▶#特異点 周りで #ローラン展開:
f(z)
=
Σ{k=-∞→∞} α_k ( z－z_0 )^k

#グルサーの公式 より，展開係数は
α_k ＝ (1/2πi) ∲_C { f(z) / ( z － z_0 )^(k+1) } dz