#群論入門_剰余類編 101
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このハッシュタグの復習：

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理

全部思い出せますかな

#群論入門_剰余類編 100

英語名称のおさらい・続

#1対1で対応 one-to-one correspondence

#ラグランジュの定理 Lagrange's theorem

群Gにおける部分群Hの #指数
index of a subgroup H in a group G

練習問題:
・左剰余類と右剰余類が「1対1で対応」するのはなぜか，英語で説明せよ。

#群論入門_剰余類編 93

「群の発見」(岩波書店2001)

p24より引用:
『#ラグランジュの定理 は
#群 Gと集合Gの違いを明白に示していて，
#群論 の第1ページに飾られるべき定理である。

#位数 15 の群Gの元 a の位数が
7 になることはない。
1, 3, 5, 15 の4つだけ可能なのである。』

#群論入門_剰余類編 92

Q.
#ラグランジュの定理 で考えると，
集合の「部分集合」と
#群 の「#部分群」には
どんな決定的な差異があるか.

A.
部分集合の要素の数は，
何個でもよい.

しかし
部分群の要素の個数は
もとの群と比べた場合の約数しか許可されない.
(整数論的な縛りが生じる)

#群論入門_剰余類編 90

Q.
#群 Gの任意の元 a に対し
a の #位数 が
G の位数の約数である事を示せ.

A.
元 a∈G が #生成 する #巡回部分群
H ＝ ‹a›
は G の #部分群.

a の位数は #巡回群 H の位数
|H| ＝ |a|.

#ラグランジュの定理 より
|H| は |G|の約数.
∴ |a| は |G|の約数.

#群論入門_剰余類編 88

Q.
#群 G_1 の #部分群 G_2
G_2の部分群G_3に対し
| G_1 : G_2 |･| G_2 : G_3 | ＝ | G_1 : G_3 |
を示せ.

A.
#ラグランジュの定理 で
部分群の #指数 を分数で書き換えると
| G_1 : G_2 | ＝ |G_1| / |G_2|
| G_2 : G_3 | ＝ |G_2| / |G_3|
より題意の式が従う.

#群論入門_剰余類編 85

Q.
#有限群 G が
#部分群 H をもつ時，
H の #位数 および #指数 がみたすべき条件とは.

A.
#ラグランジュの定理 より
(Gの位数)＝(Hの指数)×(Hの位数)
なので，

「Hの位数も
Hの指数も，
Gの位数の約数でなければならない」

という制約条件がある.

#群論入門_剰余類編 83

#ラグランジュの定理 (#群論)
Lagrange's theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
|G| ＝ [G:H] |H|

G における H の #指数:
(index of a subgroup H in a group G)
[G:H]，|G:H| のように表記する.
#左剰余類 の集合 G/H の要素数 |G/H| を指す.

#群論入門_剰余類編 82

Q.
#群論 の #ラグランジュの定理 を証明せよ

A.
#有限群 Gの
#部分群 Hによる #左分解 が
G＝H a_1＋H a_2＋…＋H a_N
ならば
Hの #指数 は|G:H|＝N.
また
|H a_1|＝|H a_2|＝…＝|H a_N|＝|H|.
#類別 の性質より
各 #剰余類 は共通元を持たず
|G|＝N|H|＝|G:H| |H|

#群論入門_剰余類編 81

Q.
#群論 における #ラグランジュの定理 とは.

A.
#有限群 G が
#部分群 H を持ち
群 G における部分群 H の #指数 を |G:H| とする時，
群 G の #位数 が
部分群 H の指数および位数を使って
|G| ＝ |G:H| |H|
と表せることをいう.

#群論入門_剰余類編 1
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このタグでは
#部分群 や #巡回部分群 を既知として
下記を解説しますぞ！

▶集合の…
・ #分割(#類別)，#類
・ #同値分割，#同値類

▶#群 での…
・ #左合同，#左剰余類，#左分解
・ #右合同，#右剰余類，#右分解

▶部分群の…
・ #指数
・ #ラグランジュの定理

#巡回群とは 45

ここで得られた結果は
「#巡回群 Gには，
|G|の任意の約数mに対し
#位数 がmであるような
Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」
というもの.

群論の勉強を進めると，この先
「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」
(#ラグランジュの定理)
というのを学ぶのでお楽しみに.

#代数学を独学できるYouTube動画

式変形チャンネルによる
「ゼロから始める #群論 2020」シリーズ
8 / 16

群論06 #剰余類 〜 #ラグランジュの定理 ・ #フェルマーの小定理 〜
https://www.youtube.com/watch?...
36:18

#数学 #代数学 #抽象代数学 #代数