#解析力学_Hamilton形式編 23

並べて比較

▶#ラグランジュ形式

#ラグランジアン
L(q,q̇)=T-V

#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

▶#ハミルトン形式

#正準運動量
p=∂L/∂q̇

#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p-L(q,q̇)

#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

＜#量子論の参考書＞

「量子場の理論」(2008江澤)

序文より引用:
『#場の量子論 の特徴は
#ラグランジアン から #出発 する
#論理 の #整合性 と，
その #形式的 な #美しさ にある。
しかし
#相対論的場 に特有の
#発散量 の #繰り込み 処方は，
#量子場 の #本質 を
見失わせかねない。』

＜#代数学の参考書＞

「群とグラフ」(1970グロスマン)

p107より:
『#ラグランジュ は
力学における
偉大な先駆者の一人であり，
今日に至るまで
彼の功績をたたえ，
#力学 における
ある基本的な #関数 を
彼の貢献を認めて
「L」という文字を
付けて呼んでいる.』
※#ラグランジアン の事

#解析力学_Hamilton形式編 13

Q.
#最小作用の原理 から
#ハミルトンの正準方程式 を導出

A.
計算は下記URL参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#作用積分 Sは
#ラグランジアン Lの時間積分.

Lと #ハミルトニアン Hに
#ルジャンドル変換 による変換関係があるので
SをHで表せて
Sの停留点を求める.

＜#量子論の参考書＞

「量子場の理論」(2008江澤)

序文より引用:
『#場の量子論 の特徴は
#ラグランジアン から #出発 する
#論理 の #整合性 と，
その #形式的 な #美しさ にある。
しかし
#相対論的場 に特有の
#発散量 の #繰り込み 処方は，
#量子場 の #本質 を
見失わせかねない。』

#解析力学_Hamilton形式編 4

#ラグランジアン Lを変形して
#ハミルトニアン Hを定義した
という事は…

･Lと同じく
Hの引数も #独立変数 である事

･Hの満たす #微分方程式 も，
「なにで偏微分するか」の
微分と代入の記法が
曖昧になり混乱しやすい。という事

…に気を付けよう！

#解析力学_Hamilton形式編 3

Q.
#ラグランジアン L を
変数変換(#ルジャンドル変換)し，
#ハミルトニアン H を定義せよ.

A.
ラグランジアン L の微分として
#正準運動量 p ＝ ∂L / ∂q̇
を導入.
ハミルトニアンは
H( q, p ) ＝ q̇p － L( q, q̇ )

#解析力学_Hamilton形式編 2

Q.
#ルジャンドル変換 とは

A.
Legendre transformation
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

関数の変数を
その微分に変えるために用いられる変換.

用途例:
・ #熱力学 における #熱力学関数 間の変換
・ #解析力学 における #ラグランジアン を #ハミルトニアン に変換

#解析力学_Lagrange形式編 118

整理:

物理的安定性を要請すると
「#ラグランジアン は
q̈など2階以上の変数を含まない」と仮定でき，
L=L(q,q̇)とおけて
#最小作用の原理 δS=δ∫Ldt=0 に代入すると，
#オイラー・ラグランジュ方程式 や
#ニュートンの運動方程式 は
2階の微分方程式になる.

＜#素粒子と原子核の参考書＞

「高エネルギー物理学実験」(丸善出版1997真木)

p202より引用:
『M_γ ＝ 0
という式は
#ラグランジアン に
A_μ A^μ の項が
現れない事から言えるので，
#光子 のみが
#質量 ゼロのままである事が分かる。
この機構が #ヒッグス機構 と
呼ばれるものである。』

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(1992)

序文より:
『#経路積分 を用いた
#物理現象 への
#アプローチ は
「#理論 に #固有 の
#不変性 を扱う際
#古典的 な #ラグランジアン を
考えるだけでよい」
という #手軽 さも手伝い
#素粒子論 や
#物性物理 を始めとして
多くの分野に…』

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(岩波書店1992大貫)

序文より:
『アプローチの有効性を示したのは
#Feynman であった。
彼らの考えの根底には，
#ハミルトニアン を用いず
#古典的 な #ラグランジアン
のみを基礎にして
#量子力学 を #定式化 する事が
可能かも知れぬ，と…』

#解析力学_Lagrange形式編 113

「変分法と変分原理」(森北出版2017柴田)の
3-5「高階導関数を含む変分問題」に
#ラグランジアン が2階導関数を含まない件が書かれている。
p143から引用：
『2階導関数までを含む場合のオイラー方程式は，
独立変数xの4階常微分方程式となる。(続)』

#解析力学_Lagrange形式編 111

現実の物理世界では
#エネルギー は－∞に発散せず最小値を持つ.
#ハミルトニアン が下に #有界
↓
そのような系は
#線型不安定性
(#オストログラドスキー不安定性)をもたない
↓
そのような系は
#ラグランジアン にq̈を含まない
(#オストログラドスキーの定理)

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(1992)

序文より:
『#経路積分 を用いた
#物理現象 への
#アプローチ は
「#理論 に #固有 の
#不変性 を扱う際
#古典的 な #ラグランジアン を
考えるだけでよい」
という #手軽 さも手伝い
#素粒子論 や
#物性物理 を始めとして
多くの分野に…』

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(岩波書店1992大貫)

序文より:
『アプローチの有効性を示したのは
#Feynman であった。
彼らの考えの根底には，
#ハミルトニアン を用いず
#古典的 な #ラグランジアン
のみを基礎にして
#量子力学 を #定式化 する事が
可能かも知れぬ，と…』

#解析力学_Lagrange形式編 104

Q.
「LはL(q,q̇)とおく事ができ
q̈や高階微分変数を含まない」
と仮定できる理由

A.
「#ラグランジアン がq̈を含む系は
エネルギーの最小状態が存在せず
物理的に不安定になる」事が知られている.
・ #線型不安定性
・ #オストログラドスキー不安定性
と呼ぶ.

#素粒子論をWebで独学・おすすめコンテンツ

#EMANの素粒子論
https://eman-physics.net/eleme...

全6部中2パート目
第2部:#ラグランジアン密度 の計算法

(3/8)#電磁場 の #ラグランジアン(試作編)
https://eman-physics.net/eleme...

(4/8)#対称性 を考慮する
https://eman-physics.net/eleme...

#素粒子論

#解析力学_Lagrange形式編 103

「#ラグランジアン Lが
q̈やそれ以上の高階微分を
変数として含む時
#オイラー・ラグランジュ方程式 は
3階以上の微分方程式になる」
ということが分かった.

でも普通の #解析力学 ではL=L(q,q̇)とおき
#オイラー・ラグランジュ方程式 は2階.
なぜそうおける?

#解析力学_Lagrange形式編 102

#ラグランジアン
L(q,q̇,…,q^(n))
が満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 は
Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0

Lがqの2階微分まで含み
L=L(q,q̇,q̈)ならば
∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)＋(d^2/dt^2)(∂L/∂q̈)=0
qに関する4階微分方程式.