#群論の初歩 83

#行列 の積に関する #群 一覧：

(2) 複素数成分の場合

▶U(n) #ユニタリ群
#ユニタリ行列 (#逆行列 が #随伴行列)

▶SU(n) #特殊ユニタリ群
ユニタリかつ #行列式=1

※参考:
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
特殊ユニタリ群は #素粒子物理学 で頻出.

#群論の初歩 81

Q.
SL(n,C) や U(n) が
GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか

A.
n 次 #正方行列 のうち
GL(n,C): #正則行列 全体
SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体
U(n): #ユニタリ行列 全体

いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で
SLはGLの部分集合
UはGLの部分集合.

#群論の初歩 80

Q.
#代数学 において
SU(n) は何を表すか.

A.
n 次の #特殊ユニタリ群
(special unitary group) を表す.

すなわち
#行列式 が 1 であるような
n 次 #ユニタリ行列 の成す群.

SU(n)＝{ A ∈ GL(n,ℂ) | AA^*＝E, det A＝1 }

#群論の初歩 79

ユニタリ行列 (unitary matrix)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

U^* U = U U^* = E
を満たす複素 #正方行列 U は
#ユニタリ行列.
※U^* は U の #随伴行列 (U^* = (U̅)^T)

・ #直交行列 を
複素数体へ拡張したものがユニタリ行列.
実ユニタリ行列は直交行列に等しい.

#群論の初歩 78

ユニタリ群 (unitary group)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

・ n 次の #ユニタリ群 U(n) とは
n 次 #ユニタリ行列 のなす #群 のこと.

・ユニタリ群 U(n) は
#一般線形群 GL_n の #部分群.

#群論の初歩 77

Q.
#代数学 において
U(n) は何を表すか.

A.
n 次の #ユニタリ群(unitary group)を表す.
n 次 #ユニタリ行列 の成す群.

U(n) ＝ { A ∈ GL( n, ℂ ) | A A^* ＝ E }

なお
Aの #随伴行列(エルミート共役) A^* を，
複素共役を取って転置したものと定める.
A^* ＝ A̅^t