#フーリエ変換の具体的な計算 22

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
↑
これは #周期 Tをもつ #周期関数.

周期関数の扱い方として
まず真っ先に考えるのは，
「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」
ということ.

そのあとで
★を #フーリエ変換 してみよう.

#アナログ信号の解析法 53
↑
このタグの復習…

･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形)
↓ 三角関数で #級数展開
･#フーリエ級数展開
↓ 変形(#オイラーの公式)
･#複素フーリエ級数展開
↓ 変形(#区分求積法)
･#フーリエ変換
周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51

#フーリエ級数展開 や
#複素フーリエ級数展開 と比べた場合の
#フーリエ変換 のメリット:

･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる

･#微分方程式 を解くのに役立つ

･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 46

①#フーリエ級数展開
a_n=(2/T)∫{-T/2→T/2}f(s)cos(2πns/T)ds
b_n=(2/T)∫{-T/2→T/2}f(s)sin(2πns/T)ds
n:離散

②#複素フーリエ級数展開
c_m=(1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)e^(-j2πms/T)ds
m:離散

③#フーリエ変換
F(ω)=∫{-∞→∞}f(s)e^(-jωs)ds
ω:連続

#アナログ信号の解析法 45

①#フーリエ級数展開
f(t)=Σ(sinとcos)

②#複素フーリエ級数展開
f(t)=Σ(exp)

③#フーリエ変換
f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω

①②:#周期 Tの #アナログ信号 を
離散スペクトルの和(Σ)に分解

③:一般のアナログ信号を
連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 34

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓
↓ sin,cos の集まりとみなす
↓
▶#フーリエ級数展開
↓
↓ #オイラーの公式 で
↓ sin,cosを #exp に書き換え
↓
▶#複素フーリエ級数展開
↓
↓ 周期T→∞の #極限 を取り
↓ #区分求積法 でΣを∫に
↓
▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 32

#フーリエ級数展開 と比べた場合
#複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？

・sin, cos だけでなく
#exp で表記した #複素正弦波 も
#直交関数系 なのだと分かる

・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが
expという1項だけで #展開 でき，
表記がより簡潔

#アナログ信号の解析法 29

#展開 の #係数 を
#積分形 で表示！

▶#フーリエ級数展開:
a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos(2πn s/T) ds
b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin(2πn s/T) ds

▶#複素フーリエ級数展開:
c_m＝(a_m－j b_m)/2
＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm s/T) ds

#アナログ信号の解析法 23

#フーリエ級数展開
f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞} {
a_n・cos( 2πn・t/T )＋
b_n・sin( 2πn・t/T )
}
↑
この式に
cosθ＝{e^(jθ)＋e^(－jθ)}/2
sinθ＝{e^(jθ)－e^(－jθ)}/2j
を代入すれば，
cos,sinが消えて
#exp のΣになり
#複素フーリエ級数展開 になる.

#アナログ信号の解析法 21

Q.
#フーリエ級数展開 は
#周期関数 しか扱えないので不便？

A.
物理的or工学的な問題を扱う際
無限に過去までとか
無限に未来までデータを知る必要は無い.
現実的に
「一定の有限期間T」の幅に収まる部分だけが処理対象.
それは #周期 Tを持つのと同じこと.

#アナログ信号の解析法 20

#フーリエ級数展開
(cosとsinによるΣでの表現)
↑
何の役に立つ？

･#無限和 の場合:
#直交関数系 による #展開 の概念を理解するのに役立つ.
･#有限和 の場合:
関数の #近似，#情報圧縮 に役立つ.
・関数の #偶関数 成分と #奇関数 成分を調べるのに役立つ.

#アナログ信号の解析法 19

区間長2πで
#フーリエ級数展開 の係数を求める際
#三角関数 の #直交性

①∫{-π→π} cos nt cos mt dt＝πδ_{m,n}
②∫{-π→π} sin nt sin mt dt＝πδ_{m,n}
③∫{-π→π} sin nt cos mt dt＝0

δは #クロネッカーのデルタ で，
添え字が
等しければ1
異なれば0

#アナログ信号の解析法 16

#フーリエ級数展開 の係数
a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos( 2πn・s/T ) ds
b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin( 2πn・s/T ) dt

信号区間長が2πだとすると
T＝2πを代入し
a_n＝(1/π) ∫{-π→π} f(s) cos( ns ) ds
b_n＝(1/π) ∫{-π→π} f(s) sin( ns ) ds

#アナログ信号の解析法 15

#フーリエ級数展開 で，
#信号 の区間(#周期)を
－πからπ　や
0から2π　とする流儀も多い。

その場合
「長さ2πの固定区間」の信号波形で
計算していることになり，
汎用性に欠けてしまう。

2πに固定せず，区間の長さLやTで
公式を覚えておいた方が良い。

#アナログ信号の解析法 14

#フーリエ級数展開 を
1つの式にまとめると…

f(t)
=
{(2/T)∫{-T/2→T/2} f(s) ds}/2
+
Σ{n=1→∞} {
{ (2/T)∫{-T/2→T/2} f(s)cos(2πn･s/T) ds }
･cos( 2πn･t/T )
+
{ (2/T)∫{-T/2→T/2} f(s)sin(2πn･s/T) ds }
･sin( 2πn･t/T )
}

#アナログ信号の解析法 13

▶実数値関数の #フーリエ級数展開

f(t)＝a_0/2＋Σ{n=1→∞}{
a_n・cos(2πn・t/T)＋
b_n・sin(2πn・t/T)
}

･#偶関数 は #フーリエ余弦展開 でき
a_n(#余弦成分)のみ非0の値を持つ.

･#奇関数 は #フーリエ正弦展開 でき
b_n(#正弦成分)のみ非0の値を持つ.

#アナログ信号の解析法 11

#フーリエ級数展開:
sin(2πn・t/T)に
sin(2πm・t/T)をかけると…

▶sin cos や sin sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶sin^2 の項だけは
sin^2 x＝(1-cos 2x) / 2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#アナログ信号の解析法 10

#フーリエ級数展開:
cos(2πn・s/T)に
cos(2πm・s/T)をかけると…

▶cos cos や cos sin の式は
#積和の公式 より
1次の #三角関数 になり，
1周期 #積分 すると消える.

▶cos^2 の項だけは
cos^2 x＝(1＋cos 2x)/2
1周期積分するとcos 2xが消え
T/2になる.

#アナログ信号の解析法 9

▶実数値関数の #フーリエ級数展開

f(t)＝a_0/2＋Σ{n=1→∞}{
a_n・cos( 2πn・t/T )＋
b_n・sin( 2πn・t/T )
}

a_0＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) cos(0) ds
a_0 / 2 ＝(1/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) ds

これはつまり
区間内の単純な #平均値
=#直流 成分.

#アナログ信号の解析法 8

▶実数値関数の #フーリエ級数展開

f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞}{
a_n・cos( 2πn・t/T )＋
b_n・sin( 2πn・t/T )
}

展開係数の求め方:
a_n＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) cos( 2πn・s/T ) ds (n≧0)
b_n＝(2/T) ∫{－T/2→T/2} f(s) sin( 2πn・s/T ) ds (n≧1)