#フーリエ変換の性質や諸公式 50
↑
このタグの復習…

･#フーリエ変換 の #線形性
･ℱの後でℱ^{-1}すると
･ℱの後でまたℱすると
･以下のもののフーリエ変換はどうなるか:
2関数の #たたみ込み
2関数の #積
1関数の #微積分
1関数の #時間シフト
1関数の #縮尺 変換

OKでしょうか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 49

まとめ②

#微積分
ℱ[ (d/dt) f(t) ] ＝ jω F(ω)
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ] ＝ { (jω)^n } F(ω)
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ] ＝ (1 / jω) F(ω)

#時間シフト
ℱ[ f( t－t_0 ) ] ＝ e^(－jω t_0) F(ω)

#縮尺 変更
ℱ[ f( at ) ] ＝ (1 / |a|) F(ω/a)

#フーリエ変換の性質や諸公式 48

まとめ①

#線形性
ℱ[ a･f(t)＋b･g(t) ]
=
a･ℱ[f(t)]＋b･ℱ[g(t)]

重ねがけ
ℱ^{-1}[ ℱ[f(t)] ]＝f(t)
ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ]＝2π f(－t)

#たたみ込み
ℱ[ (f*g)(t) ]＝ℱ[ f(t) ]・ℱ[ g(t) ]
ℱ[ f(t)･g(t) ]＝(1/2π)ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 47

「#縮尺 変更の性質」の証明:

ℱ[ f( at ) ]
=
∫{-∞→∞} f(at) e^(－jωt) dt
=
∫{-∞→∞} f(at) e^( －j･{ω/a}･{at} ) dt
ここで at=τ とおくと t=τ/aで
=
(1/a) ∫{-∞→∞} f(τ) e^( －j･{ω/a}･τ ) dτ
=
(1/a) F(ω/a)

#フーリエ変換の性質や諸公式 46

ℱ[ f( at ) ]
=
(1/|a|) F(ω/a)

a＞1とし
#時間領域 でtのかわりにatを引数に取ると
#時間軸 上で #波形 の横幅は1/a倍に #圧縮 される.

これは #周波数領域 では
#低周波 が減り
#高周波 が増える事に相当し
ω軸上では波形の横幅がa倍に広がる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 45

「#縮尺 を変更した関数の
#フーリエ変換」の性質

ℱ[ f( at ) ]
=
(1 / |a|)・F(ω/a)

↑
#時間軸 上で
#波形 の横幅を 1/a 倍に #圧縮 すると，
ω軸上では
波形の横幅が a 倍に広がる.

なぜそのように縮尺が連動するか
定性的に答えられますか？

#フーリエ変換の性質や諸公式 44

#時間シフト
ℱ[ f(t－t_0) ]
=
∫{-∞→∞} f(t－t_0) e^(－jωt) dt
=
∫{-∞→∞} f(t－t_0) e^(－jω{t－t_0})･e^(－jω t_0) dt
ここで t－t_0 を t とおきなおせば
=
∫{-∞→∞} f(t) e^(－jωt)･e^(－jω t_0) dt
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)

#フーリエ変換の性質や諸公式 43

「#時間シフト の #フーリエ変換」の性質:

ℱ[ f( t－t_0 ) ]
=
ℱ[ f(t) ]･e^(－jω t_0)
↑
#時間領域 で
#波形 の立ち上がりが t_0 だけ遅れると，
#周波数領域 でも
#位相 が t_0 だけ遅れる。

#フーリエ変換の性質や諸公式 42

▶#微分 の #フーリエ変換 は，
フーリエ変換に jω をかけたもの.

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω ℱ[ f(t) ]

▶#積分 のフーリエ変換は，
フーリエ変換を jω で割ったもの.

ℱ[ ∫{－∞→t} f(τ) dτ ]
=
(1 / jω) ℱ[ f(t) ]

↑
対称な関係ですよね.

#フーリエ変換の性質や諸公式 41

ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
=
(1/jω) F(jω)

下記URLにも導出が載っている.
https://univ-study.net/fourie-...

※より正確には，
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
=
(1/jω) F(jω) ＋ π･F(0)･δ(ω)

現代工学社「現代工学のためのフーリエ変換の計算法」p30を参照.

#フーリエ変換の性質や諸公式 40

g(t)=∫{-∞→t} f(τ)dτ
に
g(-∞)=g(∞)=0
を仮定すると…

ℱ[g(t)]
=
[ g(t) {(-1/jω)e^(-jωt)} ]_{-∞→∞}
－
∫{-∞→∞} { (d/dt)g(t) }{(-1/jω)e^(-jωt)}dt
=
0
+
(1/jω)∫{-∞→∞}f(t)e^(-jωt) dt

∴
ℱ[∫{-∞→t}f(τ)dτ]
=
(1/jω)ℱ[f(t)]

#フーリエ変換の性質や諸公式 39

g(t)＝∫{-∞→t}f(τ)dτ
の時
(d/dt)g(t)＝f(t)

#部分積分 の公式
∫u v' dx＝[uv]_{a→b}－∫u' v dx

ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t)e^(-jωt) dt
=
[ g(t) {(-1/jω)e^(-jωt)} ]_{-∞→∞}
－
∫{-∞→∞} { (d/dt)g(t) }{(-1/jω)e^(-jωt)} dt

#フーリエ変換の性質や諸公式 38

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]
↑
「#積分 の #フーリエ変換 は
フーリエ変換を #周波数 で割ったのと同じ」

証明:
g(t)=∫{-∞→t}f(τ)dτとおくと
ℱ[ g(t) ]
=
∫{-∞→∞} g(t) e^(－jωt) dt
#部分積分 すると…？

#フーリエ変換の性質や諸公式 37

jω ℱ[ f(t) ]
=
jω F(jω)
=
ℱ[ (d/dt) f(t) ]

「#周波数領域 でjωをかける操作は
#時間領域 の #微分 操作と同じ」

では，jωでなく
(1/jω)をかけると…？

微分の逆で
#積分 になる！

(1/jω)ℱ[ f(t) ]
=
(1/jω) F(jω)
=
ℱ[ ∫{-∞→t} f(τ) dτ ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 36

位置xと時間tに依存する量f(x,t)の
#偏微分方程式 が
位置での #偏微分 ∂f(x,t)/∂x と
時間での偏微分 ∂f(x,t)/∂t を含む場合…

空間パターンについて #フーリエ変換 すれば
∂f(x,t)/∂x は jωF(ω,t) になり
1変数tでの #常微分方程式 になる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 35

▶#1階微分 の場合:
ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jω･ℱ[ f(t) ]

▶#n階微分 に拡張:
ℱ[ { (d/dt)^n } f(t) ]
=
{ (jω)^n }･ℱ[ f(t) ]

#n階 の #微分演算子 は
#周波数 ωのn乗に置き換えられる。
#微分方程式 は，単にωのn次式になる！

#フーリエ変換の性質や諸公式 34

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
[ f(t) e^{－jωt} ]_{-∞→∞} ①
－
(－jω)∫{-∞→∞} f(t) e^{－jωt} dt ②

f(t)の #フーリエ変換 が存在する場合，
f(-∞)=f(∞)=0ゆえ
①=0

∴
ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
0
+
jω ∫{-∞→∞} f(t) e^{－jωt} dt
=
jωℱ[ f(t) ]

#フーリエ変換の性質や諸公式 33

t＝-∞ と t＝∞ において
f(t)＝0でなければ
{-∞→∞}の範囲での積分値が #発散 し
f(t) の #フーリエ変換 は存在しない.

そのような場合を除外し
f(t) のフーリエ変換 F(jω) が
存在する場合のみを考える事にすれば
f(-∞)＝f(∞)＝0 を仮定できる.

#フーリエ変換の性質や諸公式 32

#部分積分
∫u v' dx
=
[uv]_{a→b}－∫u' v dx
を使えば…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
∫{-∞→∞} { (d/dt)f(t) } e^{－jωt} dt
=
[ f(t) e^{－jωt} ]_{-∞→∞} ①
－
(－jω)∫{-∞→∞} f(t) e^{－jωt} dt ②
↑
この第1項①は0とおける。なぜ？

#フーリエ変換の性質や諸公式 31

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
jωℱ[ f(t) ]
を証明するには…

ℱ[ (d/dt) f(t) ]
=
∫{-∞→∞} { (d/dt)f(t) } e^{－jωt} dt
↑
#部分積分 を使えば
f(t)にかかる(d/dt)を消せる！

※部分積分の公式
(uv)'＝u' v＋u v'
↓
∫u v' dx＝[uv]_{a→b}－∫u' v dx