#フーリエ変換の具体的な計算 29
↑
このタグの復習…

次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？
①#矩形関数
②原点中心の #δ関数
③#定数関数
④原点中心でない一般のδ関数
⑤#複素正弦波
⑥#インパルス列

全てパッと思い出せるでしょうか。

#フーリエ変換の具体的な計算 28

ℱ[ δ_T (t) ] ＝ Ω δ_Ω (ω)
※Ω＝2π/T

「#インパルス列(#δ関数 の列)を
#フーリエ変換 すると
やはりインパルス列になる」
↑
この性質とても重要！
#信号処理 で，
#サンプリング定理 のカナメとなる部分が
この上記の性質から導出されているため.

#フーリエ変換の具体的な計算 27

δ_T(t)
=
Σ{k=-∞→∞}δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞}e^(j2πnt/T)

#フーリエ変換
ℱ[δ_T(t)]
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞}ℱ[e^(j2πnt/T)]①

ℱ[e^(jω_0･t)]=2πδ(ω-ω_0)より
①
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞}2πδ(ω-2πn/T)
=
ΩΣ{n=-∞→∞}δ(ω-nΩ)
(Ω=2π/T)

#フーリエ変換の具体的な計算 26

①#インパルス列 は
#複素正弦波 の単純な和
δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数
ℱ[ e^(jω_0･t) ]
=
2πδ(ω－ω_0)

①②を組み合わせ
①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 25

#インパルス列 を
#複素フーリエ級数展開 すると…

δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)
展開係数c_n=1/Tより
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

つまりインパルス列は
#複素正弦波 の「均等な和」なのである！

#フーリエ変換の具体的な計算 24

δ_T (t)の
#複素フーリエ級数展開 の展開係数
c_n
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} {
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(-j2πn･t/T)
} dt

区間{-T/2→T/2}で #積分 すると
Σの総和の中で
k=0つまりt=0･Tの項のみが生き残るので
c_n
=
(1/T){
e^(-j2πn･0/T)
}
=
1/T

#フーリエ変換の具体的な計算 23

δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
#複素フーリエ級数展開 し
=
Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T)

係数は
c_n
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} δ_T(t) e^(－j2πn･t/T) dt
=
(1/T)∫{-T/2→T/2} {
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(－j2πn･t/T)
} dt
このΣはどうなる？

#フーリエ変換の具体的な計算 22

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
↑
これは #周期 Tをもつ #周期関数.

周期関数の扱い方として
まず真っ先に考えるのは，
「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」
ということ.

そのあとで
★を #フーリエ変換 してみよう.

#フーリエ変換の具体的な計算 21

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

#デルタ関数 (#δ関数) が
間隔Tで無限に並ぶ波形であり，
･インパルス列
･#デルタ関数列 (#δ関数列)
･#デルタ列 (#δ列)
･くし形関数
などと呼ばれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 19

▶(原点中心でない一般の)#δ関数 を
#フーリエ変換 すると，
#複素正弦波 になる.

ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)

▶複素正弦波をフーリエ変換すると，
その正弦波の #周波数 にピークを持つような
δ関数になる.

ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 18

ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
を変形して…
ℱ_ω[ e^(－jωt_0) ]＝2πδ(t＋t_0)
が得られている。

ω軸とt軸を入れ換えても成り立つので
ℱ_t[ e^(－jt･t_0) ]＝2πδ(ω＋t_0)

t_0という定数を－ω_0に置き換えると
ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 17

ℱ[ δ(t－t_0) ] = e^(-jωt_0)

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[ δ(t－t_0) ] ] = ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]

重ねがけの公式より
左辺
=
2πδ(－t－t_0)
#δ関数 は #偶関数 より
=
2πδ(t＋t_0)

∴
ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]＝2πδ(t＋t_0)

変形すると…?

#フーリエ変換の具体的な計算 16

#時間シフト した #δ関数 の #フーリエ変換
証明(2通り)

①
ℱ[δ(t-t_0)]
=∫{-∞→∞}δ(t-t_0)e^(-jωt)dt
=e^(-jωt_0)

②
時間シフトした関数のフーリエ変換の公式
ℱ[f(t-t_0)]=ℱ[ f(t) ] e^(-jωt_0)
ℱ[δ(t)]=1
∴
ℱ[δ(t-t_0)]=1･e^(-jωt_0) //

#フーリエ変換の具体的な計算 15

#複素正弦波 を #フーリエ変換 すると
どうなるだろうか？

そのためにまず先に
「#時間シフト した #デルタ関数」
δ(t－t_0)
のフーリエ変換を求めてみよう。

この結果は
ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
となる。

#フーリエ変換の具体的な計算 14

▶原点中心の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ] ＝ 1_ω

▶定数関数をフーリエ変換すると
原点中心のデルタ関数になる.

ℱ[ 1(t) ] ＝ 2πδ(ω)
↑
周波数ゼロ(ω=0)の #直流 成分のみということ.

対称な関係ですね

#フーリエ変換の具体的な計算 13

ℱ_t [ δ(t) ] ＝ 1(ω)

両辺をω軸上で
#フーリエ変換 すると
ℱ_ω [ ℱ_t [ δ(t) ] ] ＝ ℱ_ω [ 1(ω) ]

フーリエ変換の重ねがけの公式より
左辺=2πδ(－t)=2πδ(t)

∴
ℱ_ω [ 1(ω) ] = 2πδ(t)

ωとtを入れ換えても成立するので
ℱ_t [ 1(t) ] = 2πδ(ω)

#フーリエ変換の具体的な計算 12

#フーリエ変換 を重ねがけすると
もとの関数の #時間反転 になる
ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ]
=
2π f(－t)
↑
この公式を使うと
ℱ_t [ δ(t) ] = 1(ω) から
ℱ_t [ 1(t) ] = 2π δ(ω)
を導出できる.

#デルタ関数 と #定数関数 は
フーリエ変換の対(ペア)をなす.

#フーリエ変換の具体的な計算 11

#デルタ関数 の #フーリエ変換 の証明:

ℱ[ δ(t) ]
=
∫{-∞→∞} δ(t) e^(－jωt) dt
#δ関数 の性質より
被積分関数にt=0を代入し
=
e^(－jω･0)
=
e^0
=
1

ω軸上の #定数関数 である事を明示するため
1_ω とか
1(ω) などと書く事も.

#フーリエ変換の具体的な計算 10

#時間軸 上の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#周波数軸 上では #定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ]＝1
↑
右辺は，ω軸上で常に
1という値を取り続ける定数関数.

#ディラック の #δ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
∫{－∞→∞} δ(t) f(t) dt
=f(0)=定数