#解析力学_Hamilton形式編 21

Q.
#ハミルトン方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
に従う物理量が
#相空間 内で描く軌道は
決して交差しない
と言えるのはなぜか

A.
軌道上の1点(q,p)を指定した時
ハミルトン方程式の左辺から
その1点の時間変化の方向ベクトルが
相空間内でただ一通りに定まるため

#解析力学_Hamilton形式編 20

Q.
H(q,p)の #ハミルトン方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p
階数は?

A.
H(q,p)はq,pの一階微分を含まない.

右辺の
∂/∂qと
∂/∂pは
H内のq,pの時間微分の階数を上げない.

左辺はq,pの一階微分.

∴q,pのtによる一階微分を含み
q,pに関し各々一階の連立微分方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 19

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ＝－∂H/∂q ①
q̇＝　∂H/∂p ②
↑
この式の①②右辺の
∂H/∂q と
∂H/∂p は
微分方程式の階数を上げない
と言えるのはなぜ？

A.
Hをqやpで偏微分しても
Hに含まれるq, pは
時間微分の階数が増えず
q, pのまま.

#解析力学_Hamilton形式編 18

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ＝－∂H/∂q ①
q̇＝　∂H/∂p ②
は，
Hではなくq,pに関する微分方程式.

①②の左辺にある時間微分のドット
すなわち (d/dt) の部分は
微分方程式の階数を生む？

A.
階数を生む.
①②の左辺はq,pに関し一階微分の量.

#解析力学_Hamilton形式編 17

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ=-∂H/∂q①
q̇= ∂H/∂p②
はHではなくq,pに関する微分方程式で
1)①左:tで全微分
2)①右:qで偏微分
3)②左:tで全微分
4)②右:pで偏微分
の4か所に微分がある.
このうち
微分方程式の「階数」を上げるのはどれ?

A.
(1)と(3)

#解析力学_Hamilton形式編 16

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ＝－∂H/∂q ①
q̇＝　∂H/∂p ②
↑
これって
「Hを求めるための微分方程式」じゃないの？

A.
H(＝q̇p－L)はすでにわかっているとして
H(q,p)をqとpで表記したものを①②に代入したら
q(t)，p(t) という時間軌跡が求まる.

＜#解析力学の参考書＞

「解析力学と微分形式」(岩波書店1996)
https://amazon.co.jp/dp/400010...

前書きより:
『#微分形式 は，
様々な #演算 が
#座標変換 で
#不変 であるように
工夫された #概念 である。
これを使うことで
#ハミルトン方程式 の
#座標不変 な #性質 を
調べることができる。』

#解析力学_Hamilton形式編 15

Q.
H(q,p)が満たす #ハミルトン方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
↑
左辺は時間での一階微分
右辺はq,pでの一階の偏微分。
p,q,Hのどれも微分の階数は最大で一階だから
ハミルトン方程式は1階の連立微分方程式？

A.
ちょっと違う.
階数を考える時にはHを残さない.

#解析力学_Hamilton形式編 14

#ハミルトン方程式 絵かき歌♪

上から下へpとq
下から上へpとq
p↓　　 q↑
q↓　　 p↑

マイナス付けて ドットして
ṗ -　　 q
q̇ 　　　p

デルエイチ デル
デルエイチ デル
ṗ -[∂H/∂]q
q̇ [∂H/∂]p

イコール結んで出来上がり!
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 12

Q.
#ハミルトン方程式 とは

A.
ṗ ＝ － ∂H / ∂q
q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p

#ハミルトン力学 で，
#正準変数 と
#ハミルトニアン の偏微分の間の関係式.

ṗ の式中のマイナスを忘れずに.

別名
#正準方程式(canonical equations).
#ハミルトンの正準方程式.

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」
(岩波書店2005砂田)

『特に，
#結晶格子 の #格子振動 について
その #物理現象 と
#数学的構造 の
両面から論じる.』

レビュー欄には，
「#ハミルトン方程式 が
#力学 と #量子力学 を
つないでいる点を学べた.」
とのコメントがある.

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」
(岩波書店2005砂田)

『特に，
#結晶格子 の #格子振動 について
その #物理現象 と
#数学的構造 の
両面から論じる.』

レビュー欄には，
「#ハミルトン方程式 が
#力学 と #量子力学 を
つないでいる点を学べた.」
とのコメントがある.