#解析力学_Hamilton形式編 23

並べて比較

▶#ラグランジュ形式

#ラグランジアン
L(q,q̇)=T-V

#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

▶#ハミルトン形式

#正準運動量
p=∂L/∂q̇

#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p-L(q,q̇)

#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22

#ハミルトン形式 を整理:

#正準運動量 p＝∂L/∂q̇と
#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p－L(q,q̇)
を定義すると，
#作用 S=∫{t1→t2}Ldt および
#最小作用の原理 δS=0の式は
Lの代わりに
Hの式となり，
#ハミルトンの正準方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
が導出される.

#解析力学_Hamilton形式編 11

Q.
1次元調和振動子の運動は
(p,x)の #相空間 内で楕円軌道.
↑
これは，時間tをあえて軸に取らない
#ハミルトン形式 の特徴ですが
そのメリットは？

A.
運動全体の様子が
有限の描画範囲内に収まれば，
運動の「構造」を定性的に把握しやすい.

※「構造」が重要！

#解析力学_Hamilton形式編 8

Q.
物理学で #相空間(#位相空間)とは

A.
phase space
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

力学系の位置qと運動量pを
座標(直交軸)とする空間.

数学の位相空間(topological space)とは別物.

#ハミルトン形式 では
物理量は #正準変数 q,pの関数で
相空間上で軌道を描く.

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

p6より
『#ハミルトン形式 で
表現された #力学系(S,ω,H)で
#微視的状態 は
#シンプレクティック多様体
(相空間)Sの元であり，
#ハミルトン関数 Hは
#力学的エネルギー
(運動エネルギーと
ポテンシャルエネルギーの和)
の一般化.』

#解析力学_保存量と対称性編 19

Q.
#ネーターの定理 と
#第一積分 との関係

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

ネーターの定理によれば
「#ラグランジュ形式 または
#ハミルトン形式 の物理系に関し，
系の1つの連続的な #対称性 に付随して
1つの #第一積分 が存在する.」

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

p6より
『#ハミルトン形式 で
表現された #力学系(S,ω,H)で
#微視的状態 は
#シンプレクティック多様体
(相空間)Sの元であり，
#ハミルトン関数 Hは
#力学的エネルギー
(運動エネルギーと
ポテンシャルエネルギーの和)
の一般化.』

＜#解析力学の参考書＞

「運動と力学」
(岩波書店2001佐藤)

前書きより引用:
『本書は
#ラグランジュ形式 や
#ハミルトン形式 の
独立した入門書である。…
勝手に #人工的 に
持ち込んだ #座標系 は，
(自然界の一般化された)
#自然法則 の中には
残っていては
いけないはずである。』