#解析力学_Hamilton形式編 12

Q.
#ハミルトン方程式 とは

A.
ṗ ＝ － ∂H / ∂q
q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p

#ハミルトン力学 で，
#正準変数 と
#ハミルトニアン の偏微分の間の関係式.

ṗ の式中のマイナスを忘れずに.

別名
#正準方程式(canonical equations).
#ハミルトンの正準方程式.

#解析力学_Hamilton形式編 7

Q.
#正準変数 とは

A.
canonical variable
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#解析力学 の中でも，
とくに #ハミルトン力学 において
物体の物理量を表す基本変数として用いられる
「位置と運動量の組」.

#一般化座標 q
#一般化運動量 p
のペア.

#解析力学_Hamilton形式編 1

Q.
#ハミルトン力学 とは

A.
Hamiltonian mechanics
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#一般化座標 と
#一般化運動量 を基本変数とし
#ニュートン力学 を再定式化した
#解析力学 の一形式.

英ウィリアム・ローワン・ハミルトンが創始.

#ラグランジュ力学 と対をなす.

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(2021浅田)

p150より:
『#ハミルトン力学 において
#運動の定数 という #条件 が1つあれば，
2N #次元 の
#位相空間(#相空間)内で
#物体 の #状態(#軌道)の
#存在 できる #領域 が #制限 される.
すなわち
2N-1次元の領域に制限される.』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

p1より
『本書は
#ニュートン力学 による
個別的現象の理解から
#ハミルトン力学 による
一般的定式化に向かった
これまでの道筋とは逆に，
#有限自由度 かつ #非相対論的 な
#量子力学 の一般的設定から始め，
その後に個別的…』

#解析力学_保存量と対称性編 18

Q.
#ハミルトン力学 の
完全積分可能条件である
リウヴィル=アーノルドの定理(#リウヴィルの定理)
誰が発見?

A.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
1853年リウヴィル:
「系の自由度に等しい数の
#第一積分 が存在すれば求積可能」

1963年アーノルド:
幾何学の言葉で再定式化

#解析力学_保存量と対称性編 13

Q.
#ハミルトン力学 において，
#ネーターの定理 に基づき
系の #保存量 をどのように表現できるか

A.
下記URLの導出を参照.
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#ハミルトニアン H との #ポアソン括弧
{ H, G_δ }
を使って，
保存量 G_δ を表現している.

＜#解析力学の参考書＞

「ブルーバックス 三体問題」(講談社2021浅田)

p150より:
『#ハミルトン力学 においては
ある #運動の定数
(#運動の積分，#保存量，#第一積分)
が存在する場合，
#一般化座標 q と
#一般化運動量 p の
ある組み合わせが
時間的に一定な
#定数 となる事を意味する.』

＜#量子論の参考書＞

「数学から見た量子力学」(2005砂田)

p1より
『本書は
#ニュートン力学 による
個別的現象の理解から
#ハミルトン力学 による
一般的定式化に向かった
これまでの道筋とは逆に，
#有限自由度 かつ #非相対論的 な
#量子力学 の一般的設定から始め，
その後に個別的…』