#解析力学_Hamilton形式編 24

Q.
①#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

②#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

↑
この2つは同じことを言っているの?

A.
どちらも
#最小作用の原理 δS=0
と同じ意味.
#作用 Sの変数として
①Lと
②Hのどちらで書くかの差.

#解析力学_Hamilton形式編 23

並べて比較

▶#ラグランジュ形式

#ラグランジアン
L(q,q̇)=T-V

#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

▶#ハミルトン形式

#正準運動量
p=∂L/∂q̇

#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p-L(q,q̇)

#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22

#ハミルトン形式 を整理:

#正準運動量 p＝∂L/∂q̇と
#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p－L(q,q̇)
を定義すると，
#作用 S=∫{t1→t2}Ldt および
#最小作用の原理 δS=0の式は
Lの代わりに
Hの式となり，
#ハミルトンの正準方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
が導出される.

#解析力学_Hamilton形式編 13

Q.
#最小作用の原理 から
#ハミルトンの正準方程式 を導出

A.
計算は下記URL参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#作用積分 Sは
#ラグランジアン Lの時間積分.

Lと #ハミルトニアン Hに
#ルジャンドル変換 による変換関係があるので
SをHで表せて
Sの停留点を求める.

#解析力学_Hamilton形式編 12

Q.
#ハミルトン方程式 とは

A.
ṗ ＝ － ∂H / ∂q
q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p

#ハミルトン力学 で，
#正準変数 と
#ハミルトニアン の偏微分の間の関係式.

ṗ の式中のマイナスを忘れずに.

別名
#正準方程式(canonical equations).
#ハミルトンの正準方程式.