＜#量子論の参考書＞

「量子場の理論」(朝倉書店2008江澤)

序文より:
『#多体物理 は
#ハミルトニアン から #出発 し
多少 #アドホック 的にも見える.
しかし #凝縮系 は
#具体的 に
見たり感じたりできるものなので
#感覚的 な #把握 が #容易 であり，
#応用範囲 も #圧倒的 に大きい.』

#解析力学_Hamilton形式編 23

並べて比較

▶#ラグランジュ形式

#ラグランジアン
L(q,q̇)=T-V

#オイラー・ラグランジュ方程式
∂L/∂q-(d/dt)(∂L/∂q̇)=0

▶#ハミルトン形式

#正準運動量
p=∂L/∂q̇

#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p-L(q,q̇)

#ハミルトンの正準方程式
ṗ=-∂H/∂q
q̇= ∂H/∂p

#解析力学_Hamilton形式編 22

#ハミルトン形式 を整理:

#正準運動量 p＝∂L/∂q̇と
#ハミルトニアン
H(q,p)=q̇p－L(q,q̇)
を定義すると，
#作用 S=∫{t1→t2}Ldt および
#最小作用の原理 δS=0の式は
Lの代わりに
Hの式となり，
#ハミルトンの正準方程式
ṗ=－∂H/∂q
q̇=　∂H/∂p
が導出される.

＜#解析力学の参考書＞

「ロボットと解析力学」(コロナ社2018有本)

p126より:
『#一般化座標 の
ある #座標成分 q_i が
#ハミルトニアン ℋ に
#陽に 入っていない場合，
∂ℋ / ∂q_i ＝ 0 となるので
p_i ＝ const. となるが
このような座標成分を
#循環座標(cyclic coordinate)という.』

＜#解析力学の参考書＞

「ロボットと解析力学」(コロナ社2018有本)

p118より:
『#ハミルトニアン は
比較的簡単な事例では
全 #力学的エネルギー 𝒦+𝒰 になるが，
必ずしもそうならない場合もある.
#変分原理 からも
#正準運動方程式 が得られる事を確認し
ハミルトン-ヤコビ方程式…』

#解析力学_Hamilton形式編 13

Q.
#最小作用の原理 から
#ハミルトンの正準方程式 を導出

A.
計算は下記URL参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#作用積分 Sは
#ラグランジアン Lの時間積分.

Lと #ハミルトニアン Hに
#ルジャンドル変換 による変換関係があるので
SをHで表せて
Sの停留点を求める.

#解析力学_Hamilton形式編 12

Q.
#ハミルトン方程式 とは

A.
ṗ ＝ － ∂H / ∂q
q̇ ＝ 　 ∂H / ∂p

#ハミルトン力学 で，
#正準変数 と
#ハミルトニアン の偏微分の間の関係式.

ṗ の式中のマイナスを忘れずに.

別名
#正準方程式(canonical equations).
#ハミルトンの正準方程式.

＜#量子論の参考書＞

「量子場の理論」(朝倉書店2008江澤)

序文より:
『#多体物理 は
#ハミルトニアン から #出発 し
多少 #アドホック 的にも見える.
しかし #凝縮系 は
#具体的 に
見たり感じたりできるものなので
#感覚的 な #把握 が #容易 であり，
#応用範囲 も #圧倒的 に大きい.』

#解析力学_Hamilton形式編 9

Q.
1次元調和振動子は
#相空間 上でどんな軌道を描くか

A.
粒子の位置を x
運動量を p とすると
#位相空間 上の点は (x,p) で表される.

#ハミルトニアン は
H＝(p^2)/2m＋(kx^2)/2
なので
エネルギーが一定の条件下で振動する場合
相空間上で描く軌跡は楕円.

#解析力学_Hamilton形式編 6

Q.
#ハミルトニアン の定義式
H＝q̇p－L
を覚える #語呂合わせ

A
はみだしは急(きゅう)だけどピアノ弾(ひ)ける
H=　はみだしわ
q̇　きゅうだけど(※ｷｭｰﾄﾞｯﾄ)
p　ピアノ
－L　ひける(※引く･ｴﾙ)

演奏会が延長し
はみ出した時間で
急な依頼だがピアノ演奏.

#統計力学を独学できるYouTube動画

F棟さんによる
「#統計力学」シリーズ
16 / 31

【統計力学】#２原子分子 の #古典理想気体 ① #ハミルトニアン 導出
https://www.youtube.com/watch?...
5:43

#理想気体
#統計物理学 #統計物理
#物理化学 #統計熱力学
#物理 #物理学 #大学物理

#解析力学_Hamilton形式編 4

#ラグランジアン Lを変形して
#ハミルトニアン Hを定義した
という事は…

･Lと同じく
Hの引数も #独立変数 である事

･Hの満たす #微分方程式 も，
「なにで偏微分するか」の
微分と代入の記法が
曖昧になり混乱しやすい。という事

…に気を付けよう！

なぞなぞ

前歯，奥歯，キバなどが視界に入ると
鳴き声を上げるネコがいるよ！

このネコのなまえは？

こたえ　#ハミルトニアン
　　　　(歯、見るとニャーン)

#解析力学_Hamilton形式編 3

Q.
#ラグランジアン L を
変数変換(#ルジャンドル変換)し，
#ハミルトニアン H を定義せよ.

A.
ラグランジアン L の微分として
#正準運動量 p ＝ ∂L / ∂q̇
を導入.
ハミルトニアンは
H( q, p ) ＝ q̇p － L( q, q̇ )

＜#解析力学の参考書＞

「量子力学を学ぶための解析力学入門」(1978)

前書きより:
『#量子力学 を
#Schrödinger方程式 から入る
#波動力学 の立場から勉強する場合
あまり詳しい
#解析力学 の知識は必要ないが
#ハミルトニアン とは
どんなものかという
簡単な知識があると大いに助かる.』

#解析力学_Hamilton形式編 2

Q.
#ルジャンドル変換 とは

A.
Legendre transformation
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

関数の変数を
その微分に変えるために用いられる変換.

用途例:
・ #熱力学 における #熱力学関数 間の変換
・ #解析力学 における #ラグランジアン を #ハミルトニアン に変換

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(岩波書店1992大貫)

序文より引用:
『(#素粒子論 で
#経路積分 が使われた理由は)
#ハミルトニアン と異なり，
#ラグランジアン密度 が
#Lorentzスカラー量 として
扱われる事が，
#相対論的 な記述において
主要な利点と
なったからである。』

＜#量子論の参考書＞

「経路積分の方法」(岩波書店1992大貫)

序文より:
『アプローチの有効性を示したのは
#Feynman であった。
彼らの考えの根底には，
#ハミルトニアン を用いず
#古典的 な #ラグランジアン
のみを基礎にして
#量子力学 を #定式化 する事が
可能かも知れぬ，と…』

＜#大学の力学の参考書＞

「天体力学入門(下)」(地人書館1983長沢)

p328より:
『#楕円軌道 や
それに近い #軌道 を持つ
#天体 の運動では
全 #エネルギー は #負 で，
#ハミルトニアン ℋも負になる.
#計算 になるべく
#正 の値を使いたいので
－ℋを考え
#力関数(force function)と呼ぶ.』

#解析力学_Lagrange形式編 111

現実の物理世界では
#エネルギー は－∞に発散せず最小値を持つ.
#ハミルトニアン が下に #有界
↓
そのような系は
#線型不安定性
(#オストログラドスキー不安定性)をもたない
↓
そのような系は
#ラグランジアン にq̈を含まない
(#オストログラドスキーの定理)