#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#デジタル信号とサンプリング 5

#デジタル信号 の定義は
「#アナログ信号 に
#デルタ関数 列をかけたもの」なので…
y_d
=
f(t)･{ Σ{k=－∞→∞} δ(t－kτ) }
=
Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ)
↑
こういう方法でデジタル信号を表す式を
「#サンプル値関数」などと呼ぶことも.

#デジタル信号とサンプリング 2

数学的に「#デジタル信号」とは？

y ＝ f(t) という普通の関数がある時
それに
#デルタ関数 列(#インパルス列)をかけると…

y_d ＝ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

時間間隔 τ ごとに値を持つ
時間的にとびとびの #波形.
↑
これがデジタル信号！

#フーリエ変換の具体的な計算 26

①#インパルス列 は
#複素正弦波 の単純な和
δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数
ℱ[ e^(jω_0･t) ]
=
2πδ(ω－ω_0)

①②を組み合わせ
①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 21

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

#デルタ関数 (#δ関数) が
間隔Tで無限に並ぶ波形であり，
･インパルス列
･#デルタ関数列 (#δ関数列)
･#デルタ列 (#δ列)
･くし形関数
などと呼ばれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 15

#複素正弦波 を #フーリエ変換 すると
どうなるだろうか？

そのためにまず先に
「#時間シフト した #デルタ関数」
δ(t－t_0)
のフーリエ変換を求めてみよう。

この結果は
ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
となる。

#フーリエ変換の具体的な計算 14

▶原点中心の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ] ＝ 1_ω

▶定数関数をフーリエ変換すると
原点中心のデルタ関数になる.

ℱ[ 1(t) ] ＝ 2πδ(ω)
↑
周波数ゼロ(ω=0)の #直流 成分のみということ.

対称な関係ですね

#フーリエ変換の具体的な計算 12

#フーリエ変換 を重ねがけすると
もとの関数の #時間反転 になる
ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ]
=
2π f(－t)
↑
この公式を使うと
ℱ_t [ δ(t) ] = 1(ω) から
ℱ_t [ 1(t) ] = 2π δ(ω)
を導出できる.

#デルタ関数 と #定数関数 は
フーリエ変換の対(ペア)をなす.

#フーリエ変換の具体的な計算 11

#デルタ関数 の #フーリエ変換 の証明:

ℱ[ δ(t) ]
=
∫{-∞→∞} δ(t) e^(－jωt) dt
#δ関数 の性質より
被積分関数にt=0を代入し
=
e^(－jω･0)
=
e^0
=
1

ω軸上の #定数関数 である事を明示するため
1_ω とか
1(ω) などと書く事も.

#フーリエ変換の具体的な計算 10

#時間軸 上の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#周波数軸 上では #定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ]＝1
↑
右辺は，ω軸上で常に
1という値を取り続ける定数関数.

#ディラック の #δ関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
∫{－∞→∞} δ(t) f(t) dt
=f(0)=定数

＜#物理数学の参考書＞

「現代工学のためのデルタ関数入門」
https://www.amazon.co.jp/dp/48...
・出版社: 現代工学社
・著者: 篠崎
・出版年: 1983年

前書きより
『本書は主に工学的立場からの
#デルタ関数 の解説書であり
数学の専門書ではない.
第2部ではやや数学的に
#超関数 の解説を試みた.』

#デジタル信号とサンプリング 7

t=nτにおける #デジタル信号 は
f(nτ)
ではなく
f(nτ)･δ(t－nτ)
↑
#アナログ信号 の値に
#デルタ関数 がかかった形.

こう定義することで #積分 可能になり
「デジタル信号の #フーリエ変換」
を定義可能になる.
(#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#デジタル信号とサンプリング 5

#デジタル信号 の定義は
「#アナログ信号 に
#デルタ関数 列をかけたもの」なので…
y_d
=
f(t)･{ Σ{k=－∞→∞} δ(t－kτ) }
=
Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ)
↑
こういう方法でデジタル信号を表す式を
「#サンプル値関数」などと呼ぶことも.

#デジタル信号とサンプリング 2

数学的に「#デジタル信号」とは？

y ＝ f(t) という普通の関数がある時
それに
#デルタ関数 列(#インパルス列)をかけると…

y_d ＝ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) }

時間間隔 τ ごとに値を持つ
時間的にとびとびの #波形.
↑
これがデジタル信号！

#フーリエ変換の具体的な計算 26

①#インパルス列 は
#複素正弦波 の単純な和
δ_T (t)
=
Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)
=
(1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T)

②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数
ℱ[ e^(jω_0･t) ]
=
2πδ(ω－ω_0)

①②を組み合わせ
①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 21

#インパルス列
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

#デルタ関数 (#δ関数) が
間隔Tで無限に並ぶ波形であり，
･インパルス列
･#デルタ関数列 (#δ関数列)
･#デルタ列 (#δ列)
･くし形関数
などと呼ばれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 20

#δ関数 の #フーリエ変換 を
計算できるという事は…

δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も
フーリエ変換できそう.

#時間軸 上で #周期 Tごとに
#デルタ関数 が無限に並んだ関数
δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT)

これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 15

#複素正弦波 を #フーリエ変換 すると
どうなるだろうか？

そのためにまず先に
「#時間シフト した #デルタ関数」
δ(t－t_0)
のフーリエ変換を求めてみよう。

この結果は
ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0)
となる。

#フーリエ変換の具体的な計算 14

▶原点中心の #デルタ関数 を
#フーリエ変換 すると
#定数関数 になる.

ℱ[ δ(t) ] ＝ 1_ω

▶定数関数をフーリエ変換すると
原点中心のデルタ関数になる.

ℱ[ 1(t) ] ＝ 2πδ(ω)
↑
周波数ゼロ(ω=0)の #直流 成分のみということ.

対称な関係ですね