#信号処理の連ツイ

①#信号処理の数学の準備
②#アナログ信号の解析法 (フーリエ級数展開)
③#フーリエ変換の性質や諸公式
④#フーリエ変換の具体的な計算
⑤#デジタル信号とサンプリング (サンプリング定理)
⑥#デジタル信号の周波数解析 (離散時間フーリエ変換，離散フーリエ変換)

#デジタル信号の周波数解析 100
↑
このタグの復習…

#デジタル信号 の #周波数解析:

①#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
理論的に重要だが
現実の #数値計算 には使えない

②#離散フーリエ変換(#DFT)
#時間領域 も #周波数領域 も
有限個の数値のみで計算可能

自力で導出できるように.

#デジタル信号の周波数解析 99

#離散フーリエ変換(#DFT)の場合:

t軸上でf(t)の形が
#解析的 にわかる必要は無く
ω軸上でもF(ω)の形が
解析的にわかる必要は無い.

有限個の #数値 さえgetできれば
相互変換できる.

これら #デジタル信号 を #DA変換 すれば
#アナログ信号 も作れる！

#デジタル信号の周波数解析 98

#離散時間フーリエ変換(#DTFT)の場合:
f(t)の #波形 が
「#数式 として得られていなくても」
利用可能だが，かわりに
t軸上で無限個のサンプル値が必要(無理).
さらに
ω軸上で無限区間の #積分 が必要(実用不可).

一方
#DFT なら有限個の数値だけで済む.

#デジタル信号の周波数解析 97

#DFT が「#数値 だけで済む」ことのメリット:
他の変換と比較

(複素)#フーリエ級数展開
#フーリエ変換
↑
この2つは
#時間領域 で関数f(t)の #波形 が
「数式として(#解析的 に)」得られていないと
#周波数領域 へ #変換 できない.
数値だけで処理不可.

#デジタル信号の周波数解析 96

▶#周期 Tの #アナログ信号
↓ sin,cosの集まりと見る
▶#フーリエ級数展開
↓ #exp に書き換え
▶#複素フーリエ級数展開
↓ 周期T→∞で #区分求積法
▶#フーリエ変換
↓ t軸上 #標本化
▶#離散時間フーリエ変換
↓ ω軸上も標本化
▶#離散フーリエ変換

#デジタル信号の周波数解析 95

#離散フーリエ変換(#DFT)は
#解析的 な関数形の情報が不要で
純粋に「数値オンリー」な処理
↑
t軸上で #サンプリング されているし
ω軸上でもサンプリングされていて
tとωの両方の領域において
#デジタル信号 値(=#数値)だけ考えればよくなっているから.

#デジタル信号の周波数解析 94

#離散フーリエ変換(#DFT)は
#解析的 な関数形の情報が不要
↑
つまり
t軸上でy=sin 2tのような
時間波形の解析的な関数形がわからなくてOK.

かわりに，t軸上で
N個のサンプル値(=#数値 の羅列)さえあればよい.

純粋に「数値オンリー」な処理なのである.

#デジタル信号の周波数解析 93

▶(複素)#フーリエ級数展開
t連続
ω離散

▶#フーリエ変換
t連続
ω連続

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t離散
ω連続

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t離散
ω離散

「t領域とω領域の両方で #離散的」はDFTだけ.
#解析的 な関数形が不要.
数値のみで処理可能!

#デジタル信号の周波数解析 92

▶(複素)#フーリエ級数展開
t :連続 周期的
ω:離散 無限範囲

▶#フーリエ変換
t :連続 無限範囲
ω:連続 無限範囲

▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT)
t :離散 無限範囲
ω:連続 周期的

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
t :離散 周期的
ω:離散 周期的

#デジタル信号の周波数解析 91

実用面においては
ざっくり「#フーリエ変換＝#FFT」
という認識でもOK.
FFTではない，遅い計算方法で
わざわざフーリエ変換を計算するメリットが無いから.

しかしFFTはあくまでも
#DFT を高速計算する「工夫」でしかないので
理論的にはDFTのほうが重要.

#デジタル信号の周波数解析 90

#デジタル信号処理 において，
リアルタイム処理などで
#フーリエ変換(周波数解析)を実用化する場合…

高速な計算が必要なので
#FFT のライブラリを使って
プログラミングする事になる.

そのため
「フーリエ変換＝FFTの事だ」と
錯覚してしまいやすい.

#デジタル信号の周波数解析 89

#高速フーリエ変換
(fast Fourier transform，#FFT)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#離散フーリエ変換(#DFT)を
計算機上で高速に計算する #アルゴリズム のこと.

1965年に発見された
「クーリー–テューキー型FFTアルゴリズム」
を指すことが多い.

#デジタル信号の周波数解析 88

#フーリエ変換 を
#離散化 したものが
#離散フーリエ変換(#DFT).

#DFT を素早く計算する処理を
実用化するための，
#計算量 のオーダーの工夫が
#高速フーリエ変換(#FFT).

この2つを混同しないように注意！

DFTは数学だが
FFTは #アルゴリズム である.

#デジタル信号の周波数解析 87

https://ja.wikipedia.org/wiki/...

#離散フーリエ変換 について
知っておくとよさそうな性質

ある #関数 を #DFT してから DFT^{-1} した時に:
・標本点では，元の関数と一致する.
・標本点以外では，元の関数と一致するとは限らない.

#デジタル信号の周波数解析 86

#離散フーリエ変換
discrete Fourier transform，#DFT
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
･#離散化 された #デジタル信号 の #周波数解析 に使用
･#高速フーリエ変換(#FFT)で高速計算可能
･逆は #逆離散フーリエ変換 inverse discrete Fourier transform，#IDFT

#デジタル信号の周波数解析 85

#逆離散フーリエ変換(#IDFT)
の式内のF[k]を
#離散フーリエ変換(#DFT)で表し
DFTとIDFTを
1つの式にまとめると:

f[n]
=
(1/N)Σ{k=0→N-1}{
F[k]･e^(j2πk･n/N)
}
=
(1/N)Σ{k=0→N-1}{
Σ{s=0→N-1} f[s] e^(-j2πk･s/N)
･
e^(j2πk･n/N)
}

#デジタル信号の周波数解析 84

▶#離散フーリエ変換(#DFT)
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(－j2πk･n/N)

▶#逆離散フーリエ変換(#IDFT=DFT^{-1})
f[n]
=
(1/N)･
Σ{k=0→N-1} F[k] e^(j2πk･n/N)

対称で美しい関係式！

互いに「N個のサンプル値の
重み付きの和」で結びついている.

#デジタル信号の周波数解析 83

#離散フーリエ変換:
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j2πk･n/N)

#周波数軸 上の1つの #デジタル信号 値
F[k] (0≦k≦N-1)は
#時間軸 上のN個のデジタル信号値
f[0], f[1], …, f[ N-1 ]
を展開係数とした
(逆回りの)#複素正弦波 の有限和で求められる.

#デジタル信号の周波数解析 82

DTFT[ y_{d,N} (t) ]
=
F(ω)
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-jωnτ)

ここでω軸上での #サンプリング周期 は
(2π/τ)/N
=
2π/τN

∴
ω=k・2π/τN
と #離散化 でき
F(k・2π/τN)
=
F[k]
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j{k･2π/τN}nτ)
=
Σ{n=0→N-1} f[n] e^(-j2πk･n/N)