#デジタル信号とサンプリング 32

前ツイまでで
y(－t)
=
y_d(－t) * sinc( ω_0･t )
が得られている。

ここで
両辺の t を －t に置き換えると，
#sinc関数 は #偶関数 なので
y(t)
=
y_d(t) * sinc( ω_0･t )
となる。

#デジタル信号とサンプリング 31

ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ]
=
2 ω_0･sinc(ω_0･t)
を使うと
#デジタル信号 の #スペクトル を
ω軸上で1 #周期 切り出した式は
2πy(-t)
=
τ y_d(-t) * ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ]
=
y_d(-t) * 2τω_0･sinc(ω_0･t)

π/τ=ω_0より
y(-t)
=
y_d(-t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 30

ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]
=
(Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t

ω軸上で
F(ω) の正負両方向への両幅が
Ω=2π/τ の時，
その片幅
Ω/2(=π/τ) を
Ω/2=ω_0 とおく.

ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]
=
ω_0･(sin ω_0･t) / (ω_0･t)
=
ω_0･sinc( ω_0･t )

#デジタル信号とサンプリング 29

rect(ω / (Ω/2))の
ω軸上 #フーリエ変換:
(※rectは-1から1まで値を持つ)

面積1の #矩形関数 のフーリエ変換は
#sinc関数 なので
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω) ]＝(sin t)/t

#縮尺 変換の公式より
ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]＝(Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t

#デジタル信号とサンプリング 28

ℱ_ω[
ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

右辺=2πy(-t)

左辺(#積 を #たたみ込み に変形)
=
(1/2π)ℱ_ω[ ℱ_t[y_d] ] * ℱ_ω[ τ rect(ω / (Ω/2))]
=
(τ/2π) 2π y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]
=
τ y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]

#デジタル信号とサンプリング 27

ω軸上で #デジタル信号 を
1 #周期 切り出したもの
ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2))
=
ℱ[y]

両辺をω軸上で #フーリエ変換
ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ]
=
ℱ_ω[ ℱ_t[y] ]

左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 26

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に
「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて
1周期ぶん切りだすと
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい.

ℱ[y_d]
・
τ rect(ω / (Ω/2))
=
F(ω)
これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 25

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は #周期 Ωの #周期関数 だから…

「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」
τ・rect(ω / (Ω/2))
をかければ
1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！

※rect(x)=
1 (-1≦x≦1)
0 (otherwise)

#デジタル信号とサンプリング 24

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.

#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が
ナイキスト条件を満たし
F(ω)の #帯域幅 がω軸上で
横幅Ωの範囲内に収まっている時
1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 23

#折り返し雑音(folding noise)
#エイリアシング(aliasing)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

異なる #連続信号 が
#標本化 により区別不能になる事.

低すぎる #周波数 で #標本化 すると
#高周波 が #アンダーサンプリング され
#低周波 の折り返し雑音になる.

#デジタル信号とサンプリング 22

#サンプリング周波数 (sampling rate)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#サンプリング 周波数の1/2の #帯域幅 の
外側の #周波数 成分は，
復元時に #折り返し雑音 となるため，
#標本化 の前に
#帯域制限フィルタ により
遮断しておかなければならない。」

#デジタル信号とサンプリング 21

#標本化定理 (#サンプリング定理)
sampling theorem
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

「#波形 の最大 #周波数 の
2倍を超えた周波数で
#標本化(#サンプリング)すれば，
完全に元の波形に再構成される。」

#デジタル信号とサンプリング 20

『信号の帯域が
ω軸上で無限に広がらず，
ある幅の中に #帯域制限 されている』
↓
下記を見ると理解しやすい.

#電波 の周波数による分類
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
無線，携帯電話，テレビ放送など毎に
利用可能な周波数帯域(バンド幅)が決まっている.

#デジタル信号とサンプリング 19

#ナイキスト周波数(Nyquist frequency)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...
#サンプリング周波数 の1/2の #周波数.
#アナログ信号 の #周波数帯域 が
ナイキスト周波数(サンプリング周波数の1/2)
以下に制限されていれば
#サンプリング 時に元信号の情報は失われない.

#デジタル信号とサンプリング 18

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
(Ω=2π/τ)
ω軸上で #周期 Ωの #周期関数.
↑
ここから
「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」
という操作が可能であるためには
横幅Ωの範囲内に
F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 17

#デジタル信号 の #スペクトル
ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)
は
#周期 Ω=2π/τの無限列.
という事は…

ω軸上で横幅Ωで
1周期ぶんを切り出してτ倍すれば
#アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ
#逆フーリエ変換 で
アナログ信号を復元できる！

#デジタル信号とサンプリング 16

#アナログ信号 を
#サンプリング して得られる
#デジタル信号 は…

･#時間領域 では:
元信号のうち
とびとびの情報しか持っていない.

･#周波数領域 では:
ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
元信号の #スペクトル F(ω)が
周期的に並ぶ.

#デジタル信号とサンプリング 15

#デジタル信号 から
#アナログ信号 を
正確に復元できるか？

つまり，y＝f(t) に
#時間周期 τ の #デルタ関数列 をかけて
くし状に加工したデジタル信号
y_d ＝ f(t)・δ_τ(t)
だけがある時
y_dから元のアナログ信号 f(t) の情報を
正確に復元できるか？

#デジタル信号とサンプリング 14

ℱ[f(t)]＝F(ω)
y_d＝f(t)・δ_τ(t)
#時間領域 で
時間 #周期 τで #サンプリング した信号は…

ℱ[ y_d ]
=
(1/τ) F(ω) * δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ
=
(1/τ)Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ)
#周波数領域 では
#周波数 周期 Ω=2π/τ の #周期関数 になる.

#デジタル信号とサンプリング 13

#デジタル信号
y_d＝f(t)･Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ)
の #フーリエ変換:

ℱ[ y_d ]
=
(1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ
=
(1/τ){ F(jω) * δ_Ω (ω) }
↑
これは
ω軸上でF(jω)の #波形 が
間隔Ωごとに無限に繰り返し並ぶ
ということ.