#物理数学を独学できるYouTube動画

みつのきチャンネルによる
「#ベクトル解析」シリーズ
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#ストークスの定理 の証明と式の意味と例題！
https://www.youtube.com/watch?...
26:49

#積分 #面積分
#数学 #大学数学 #物理数学

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 150
↑
このタグの復習…

▶#静電場 を #微分方程式 で表す
#クーロンの法則 と #電気力線
#ガウスの定理 と #ガウスの法則

▶#静磁場 を微分方程式で表す
#アンペールの法則
#ストークスの定理

▶静電磁場の #マクスウェル方程式

全部思い出せますか。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 120

Q.
rot↑E=↑0の説明方法2:
#周回積分 で #仕事=0

A.
#クーロン力 は #保存力。
閉曲線で #電荷 を1周させた仕事は0

W=0
=∲_C ↑F・d↑s
=∲_C q↑E・d↑s
#ストークスの定理
=q∬_S (rot ↑E)・↑n dS
Sが微小
=(rot ↑E)・↑n dS
∴rot↑E=↑0

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 117

Q.
#静電場 の #渦無し の法則
rot ↑E ＝ ↑0
どうやって「証明」できる？

A.
「説明」の方法は数通り:

①↑E＝－↑∇U の両辺の #rot から

②#周回積分 で #仕事 が0である事と
#ストークスの定理 を使う

③#レンツの法則 の特殊な場合とする

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 103

Q.
#アンペールの法則
∲_{∂S} ↑H・d↑s ＝ ∬_S ↑j・↑n dS

#微分方程式 にせよ。

A.
#ストークスの定理 で
左辺＝∬_S (rot ↑H)・↑n dS
Sが微小なら微小面積dSに対し
＝(rot ↑H)・↑n dS
＝∬_S ↑j・↑n dS
＝↑j・↑n dS
∴rot ↑H＝↑j

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 102

Q.
#ストークスの定理 を使うと
#微分演算子 rot を含む項を消し
微分演算子を含まない項(#周回積分)に変形できる。
↑
逆もある?

A.
周回積分を含む数式がある時，
それを変形して
「#rot を含む項」を生み出すことができ
#微分方程式 を作れる。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 100

Q.
#ストークスの定理 は，計算上
何の役に立つ？

A.
#rot を含む #微分方程式 を積分して解く際，

1)
「微分演算子 ↑∇× を含む項」(＝rotの積分)を消し

2)
「微分演算子 ↑∇ を含まない項」(＝#周回積分)に変換できる
という点で価値がある。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 99

Q.
#ストークスの定理 は，
何と何を結びつける？

A.
ストークスの定理 (Stokes' theorem)
https://ja.wikipedia.org/wiki/...

領域内部での
#ベクトル場 の「#回転」(#rot)を，
領域の境界線上での「#線積分(#周回積分)」に
結び付ける。

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 98

Q.
#ベクトル場 ↑H(x,y,z) に対して
#ストークスの定理 を書け。

A.
↑H を任意の #ベクトル場
S を任意の面領域
∂S を S の #境界
↑n を S 上の #法線ベクトル として

∲_∂S ↑H・d↑s ＝ ∬_S (#rot ↑H)・↑n dS

＜#静電磁場のMaxwell方程式の導出＞ 97

#アンペールの法則
2πrH ＝Ｉ
の両辺を積分表示した式
∲_{∂S} ↑H・d↑s ＝ ∬_S ↑j・↑n dS
(両辺はスカラー)

これを #微分方程式 に作り替えるには，
#ストークスの定理 というのを使います。