#シュレディンガー方程式の導出 44

#シュレディンガー方程式
{－(ℏ^2 / 2m)∆－e^2 / 4πε_0 r}X＝EX
に

∆＝(∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ)
を代入すれば

#極座標系 ( r，θ，φ ) の
#微分方程式 になる！！

#シュレディンガー方程式の導出 41

3次元の #シュレディンガー方程式
{－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X
に，
#水素原子 の #原子核 が生む
#ポテンシャル
U(r) = －e^2 / 4πε_0 r
を代入すると…

{
－(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ]
－e^2 / 4πε_0 r
} X
＝
E X

#シュレディンガー方程式の導出 40

3次元の #シュレディンガー方程式 を
#水素原子 の #電子 に適用する.

水素原子の
#原子核 から電子までの距離をr
#電荷素量 をeとおくと…
電子が受ける #クーロン力 は
F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2
なる #引力.

#ポテンシャル は
U(r) = －e^2 / 4πε_0 r

#シュレディンガー方程式の導出 39

時間非依存の
#シュレディンガー方程式:

▶1次元
{－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x)
＝
E X(x)

▶3次元
{
－(ℏ^2 / 2m)[ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ]
＋U
} X
＝
E X

∴
{－(ℏ^2 / 2m)∆ ＋ U } X ＝ E X
#ラプラシアン が現れる。

#シュレディンガー方程式の導出 35

▶#電子 の運動に関する
時間非依存の #シュレディンガー方程式:
{－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x)

▶#運動量 演算子:
p = ±i ℏ (d/dx)

ここからは，上記の式を
#水素原子 の電子に当てはめ
具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。

#シュレディンガー方程式の導出 34

21世紀の今
#前期量子論 を初学者が学ぶ意味は
薄れたと言われます.

最近の #量子論 の本は
#シュレディンガー方程式 を
あえて解かない物もあります.

が，#量子力学 はともかく
#量子化学 は
シュレディンガー方程式を
解かないわけにはいきませんね.

#シュレディンガー方程式の導出 31

#量子化学 の学び始めの
#前期量子論 の部分では，
#特殊相対論 の結果を使う.

その際，前提知識を深堀りはせず
理由も良く分からないまま
いきなり #相対論 の結果式 E＝cp を使う.

そして #シュレディンガー方程式 を導き
#演算子対応 を受け入れる…

#シュレディンガー方程式の導出 30

ちゃんとやると
下記の順序になる。

#マクスウェル方程式 の #電磁気学
および #ガリレイ変換 下での破綻
↓
#特殊相対論 での #テンソル 計算
↓
#光子 の #相対論的エネルギー E＝cp
↓
#シュレディンガー方程式 導出
↓
それをもとにした #量子化学

#シュレディンガー方程式の導出 29

#大学化学 の土台は #量子化学 で
真っ先に習うのが #シュレディンガー方程式。

しかし，その導出時に
初手で必要になるのが
#特殊相対性理論 の
E
＝√( m^2・c^4 ＋ p^2・c^2 )
＝ pc
という式。

#相対論 未修なのに
結果だけ先取りするのである…！

#シュレディンガー方程式の導出 28

ここまでで
古典論の #波動方程式 から
時間非依存の
#シュレディンガー方程式 を導出し
#運動量演算子
p=±iℏ(d/dx)
を得た.

参考文献:
例えば東京化学同人
「量子化学・基本の考え方16章」6章
§6.3 電子の波動方程式
～
§6.5 ハミルトン演算子 を参照.

#シュレディンガー方程式の導出 27

#電子 の運動に関する
時間非依存の #シュレディンガー方程式
{－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2＋U(x) } X = E X ①

ここで，古典力学での
全エネルギーの定義は
p^2 / 2m ＋ U(x) = E ②

①左辺と
②左辺を比べると
－(ℏ^2)(d/dx)^2 = p^2
∴
p = ±i ℏ (d/dx)

#シュレディンガー方程式の導出 26

#電子 のみたす #波動方程式
－(ℏ^2 / 2m)X_xx ＋ U X = E X
↓
{－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X ＝ E X

これを，1次元の
「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」
と呼ぶ。

左辺の { } 内は
右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。

＜#量子論の参考書＞

パリティ物理学コース クローズアップ
「シュレディンガー方程式の解法」
https://www.amazon.co.jp/dp/46...
・出版社: 丸善
・著者: 小野
・出版年: 1993年

『#シュレディンガー方程式 を解く
という事にテーマを絞り
従来の教科書では省略されがちな
複雑な計算も丁寧に解説』

#シュレディンガー方程式の導出 11

前ツイまでで
古典論の #波動方程式
u_xx ＝ (1/c^2) u_tt
の導出方法や，
偏微分方程式としてのタイプも確認できた。

この古典論の波動方程式をもとに
#量子化学 の主役である
量子論の波動方程式(#シュレディンガー方程式)を導出しよう。

#シュレディンガー方程式の導出 6

参考文献:
量子論的な波動方程式
(#シュレディンガー方程式)
を学ぶための前段階として，
まず先に
古典論の #波動方程式 を
導出させる #量子化学 の教科書としては
たとえば東京化学同人
「量子化学　基本の考え方16章」
の6章などが挙げられる。

#シュレディンガー方程式の導出 3

#量子化学 の典型的カリキュラム:

･講義1回目で #前期量子論 をやり
･#古典力学 の #波動方程式 を見せ
･そこからの類推で，水素原子の
#シュレディンガー方程式 を導出。

この流れを
「#シュレディンガー方程式の導出」
のタグで紹介してゆきます。